Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x^2+2x-4}{3x-3}$. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là

Bài toán gốc

Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x^2+2x-4}{3x-3}$. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là

A. $y = 4x + 1$.

B. $y = 2x + 2$.

C. $y = \dfrac{2}{3}x +\dfrac{4}{3}$.

D. $y = 6x + 1$.

Lời giải: Giả sử đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên có dạng $y = ax + b$. Ta tìm hệ số $a$ và $b$ như sau
$\bullet$ $a = \lim\limits_{x \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}= \lim\limits_{x +\infty}\dfrac{\dfrac{2x^2+2x-4}{3x-3}}{x}=\dfrac{2}{3}$;
$\bullet$ $b = \lim\limits_{x \pm\infty}\left(f(x) – ax\right)= \lim\limits_{x +\infty}\left(\dfrac{2x^2+2x-4}{3x-3} -\dfrac{2}{3}x\right)=\dfrac{4}{3}.$
Do đó ta được tiệm cận xiên là $y = \dfrac{2}{3}x +\dfrac{4}{3}$.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán tìm đường tiệm cận xiên của hàm phân thức hữu tỉ $y = rac{P(x)}{Q(x)}$ trong trường hợp bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng một bậc (bậc 2 chia bậc 1). Phương pháp giải là sử dụng định nghĩa tiệm cận xiên $y=ax+b$ với $a = ext{lim}_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ và $b = ext{lim}_{x \to \pm\infty} (f(x) – ax)$, hoặc thực hiện phép chia đa thức tử số cho mẫu số.

Bài toán tương tự

Cho hàm số $y = f(x) = \dfrac{4x^2 – 3x + 1}{2x + 1}$. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là

A. $y = 2x + 5$.

B. $y = 2x – 2$.

C. $y = 2x – \dfrac{5}{2}$.

D. $y = 4x – 3$.

Đáp án đúng: C.

Lời giải ngắn gọn: Giả sử đường tiệm cận xiên là $y = ax + b$.
$\bullet a = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{4x^2 – 3x + 1}{x(2x + 1)} = \dfrac{4}{2} = 2$.
$\bullet b = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\left(f(x) – ax\right) = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\left(\dfrac{4x^2 – 3x + 1}{2x + 1} – 2x\right)$
$b = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{4x^2 – 3x + 1 – 2x(2x + 1)}{2x + 1} = \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{-5x + 1}{2x + 1} = \dfrac{-5}{2}$.
Vậy tiệm cận xiên là $y = 2x – \dfrac{5}{2}$.