Cho hàm số \(y = \frac{{4m}}{3}{x^3} – \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}{x^2} – \left( {2{m^2} – 12m + 6} \right)x + m\). Tìm \(m\)để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\).

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = \frac{{4m}}{3}{x^3} – \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}{x^2} – \left( {2{m^2} – 12m + 6} \right)x + m\). Tìm \(m\)để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

TXĐ:\(D = \mathbb{R}\).

\(y’ = 4m{x^2} – \left( {{m^2} + 4m + 3} \right)x – \left( {2{m^2} – 12m + 6} \right)\)

TH1: \(m \le 0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH2: \(m > 0\); \({\Delta _{y’}} = {\left( {{m^2} + 4m + 3} \right)^2} + 16m\left( {2{m^2} – 12m + 6} \right)\)

\( = {\left[ {\left( {{m^2} + 4m + 3} \right) + 16m} \right]^2} – {\left( {24m} \right)^2}\)

\( = \left( {m – 1} \right)\left( {m – 3} \right)\left( {{m^2} + 44m + 3} \right)\)

Khả năng 1: thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Khả năng 2: \({\Delta _{y’}} > 0\), lúc này \(y’ = 0\)có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) và dấu \(y’:\)

Để hàm số đồng biến trên\(\left( { – 1; + \infty } \right)\) thì \({x_1} < {x_2} \le – 1\).

Điều này không thể xảy ra do \( – \frac{b}{a} = \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{{4m}} > 0\,\,\,\,\,\forall m > 0\).

Đáp số: \(1 \le m \le 3\).\(\)

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC