![Cho hàm số (y = fleft( x right)) liên tục và có đạo hàm trên (mathbb{R}). Biết hàm số (f'left( x right)) có đồ thị như hình vẽ, có bao nhiêu giá trị nguyên của (m) thuộc (left[ { - 2019;2019} right]) để hàm số (gleft( x right) = fleft( {{{2019}^x}} right) - mx + 2) đồng biến trên (left[ {0;1} right])?</p> <!-- wp:image -->
<figure class="wp-block-image"><img src="https://lh6.googleusercontent.com/NulPPaDldtA19Nsbn08bJL1531B1exgJboZBUv5wOLe1pMPkLDb_9DGgt16jZFk-TaRS1CXHUr8SChdgXAZZww0xBXQIBGfTt7k0TnyACHJ49JjXXZGTdB4CFq4peUj7SvmhXJM=s0" alt=""/></figure>
<!-- /wp:image --> 1](https://lh6.googleusercontent.com/NulPPaDldtA19Nsbn08bJL1531B1exgJboZBUv5wOLe1pMPkLDb_9DGgt16jZFk-TaRS1CXHUr8SChdgXAZZww0xBXQIBGfTt7k0TnyACHJ49JjXXZGTdB4CFq4peUj7SvmhXJM=s0 "Cho hàm số (y = fleft( x right)) liên tục và có đạo hàm trên (mathbb{R}). Biết hàm số (f'left( x right)) có đồ thị như hình vẽ, có bao nhiêu giá trị nguyên của (m) thuộc (left[ { - 2019;2019} right]) để hàm số (gleft( x right) = fleft( {{{2019}^x}} right) - mx + 2) đồng biến trên (left[ {0;1} right])?</p> <!-- wp:image -->
<figure class=\"wp-block-image\"><img src=\"https://lh6.googleusercontent.com/NulPPaDldtA19Nsbn08bJL1531B1exgJboZBUv5wOLe1pMPkLDb_9DGgt16jZFk-TaRS1CXHUr8SChdgXAZZww0xBXQIBGfTt7k0TnyACHJ49JjXXZGTdB4CFq4peUj7SvmhXJM=s0\" alt=\"\"/></figure>
<!-- /wp:image --> 1")
A. 2018.
B. 2019.
C. 2011.
D. 2020.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
+ Ta có: \(g’\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right) – m\).
+ Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{{2019}^x}} \right) – mx + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).
\( \Leftrightarrow g’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).
\( \Leftrightarrow {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right) – m \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).
\( \Leftrightarrow m \le {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right),\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).
\( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right)\), với \(h\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right)\).
+ Ta có: \(0 \le x \le 1 \Rightarrow {2019^0} \le {2019^x} \le {2019^1}\) hay \({2019^x} \in \left[ {1;2019} \right]\).
+ Lại có hàm số \(y = f’\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1, + \infty } \right)\), nên hàm số \(y = f’\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2019} \right]\) với \(t = {2019^x}\). Do đó \(f’\left( 1 \right) \le f’\left( t \right) \le f’\left( {2019} \right) \Rightarrow f’\left( t \right) \ge f’\left( 1 \right) = 0\) hay \(f’\left( {{{2019}^x}} \right) \ge 0\), \(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).
+ Khi đó, \(h\left( x \right) \ge 1.\ln 2019.0 = 0\),\(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\); dấu bằng xảy ra khi \(x = 0\).
+ Hay \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right) = 0\)khi \(x = 0\).
+ Suy ra: \(m \le 0\). Mà \(m\) nguyên thuộc \(\left[ { – 2019;2019} \right]\) nên \(m \in \left\{ { – 2019; – 2018;…; – 1;0} \right\}\).
Vậy có 2020 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
=======Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC