Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { – 2019;2019} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{{2019}^x}} \right) – mx + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\)?

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết hàm số \(f’\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ, có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { – 2019;2019} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{{2019}^x}} \right) – mx + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\)?

A. 2018.

B. 2019.

C. 2011.

D. 2020.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

+ Ta có: \(g’\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right) – m\).

+ Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{{2019}^x}} \right) – mx + 2\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\).

\( \Leftrightarrow g’\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).

\( \Leftrightarrow {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right) – m \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).

\( \Leftrightarrow m \le {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right),\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).

\( \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right)\), với \(h\left( x \right) = {2019^x}.\ln 2019.f’\left( {{{2019}^x}} \right)\).

+ Ta có: \(0 \le x \le 1 \Rightarrow {2019^0} \le {2019^x} \le {2019^1}\) hay \({2019^x} \in \left[ {1;2019} \right]\).

+ Lại có hàm số \(y = f’\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1, + \infty } \right)\), nên hàm số \(y = f’\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2019} \right]\) với \(t = {2019^x}\). Do đó \(f’\left( 1 \right) \le f’\left( t \right) \le f’\left( {2019} \right) \Rightarrow f’\left( t \right) \ge f’\left( 1 \right) = 0\) hay \(f’\left( {{{2019}^x}} \right) \ge 0\), \(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\).

+ Khi đó, \(h\left( x \right) \ge 1.\ln 2019.0 = 0\),\(\forall x \in \left[ {0;1} \right]\); dấu bằng xảy ra khi \(x = 0\).

+ Hay \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} h\left( x \right) = 0\)khi \(x = 0\).

+ Suy ra: \(m \le 0\). Mà \(m\) nguyên thuộc \(\left[ { – 2019;2019} \right]\) nên \(m \in \left\{ { – 2019; – 2018;…; – 1;0} \right\}\).

Vậy có 2020 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC