PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC TRONG BÀI TOÁN HÀM HỢP
Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.Tìm tất cả các giá trị \(m\)để phương trình \(\left| {f\left( {\frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}}} \right)} \right| = m\) có nghiệm.
A. \( – 4 \le m \le – 2\)
B. \(m > – 4\)
C. \(2 < m < 4\)
D. \(2 \le m \le 4\)
Lời giải
Chọn D
Cách 1: Phương pháp truyền thống
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) là
Đặt \(t = \frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}} \Rightarrow t’ = \frac{{ – 4{x^2} + 4}}{{{{\left( {2{x^2} + 2} \right)}^2}}}\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).
Dựa vào bảng biến thiên ta có \(x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow t \in \left[ {1;2} \right]\).
Vậy phương trình \(\left| {f\left( {\frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}}} \right)} \right| = m\) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình \(\left| {f\left( t \right)} \right| = m\,\) có nghiệm \(t \in \left[ {1;2} \right]\)\( \Leftrightarrow 2 \le m \le 4\).
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) là
Đặt \(t = \frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}} \Rightarrow t’ = \frac{{ – 4{x^2} + 4}}{{{{\left( {2{x^2} + 2} \right)}^2}}}\); \(t’ = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
Với \(2 < a < 4\).
Vậy phương trình \(\left| {f\left( {\frac{{3{x^2} + 2x + 3}}{{2{x^2} + 2}}} \right)} \right| = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(2 \le m \le 4\).
=======
Trả lời