Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) cho như hình vẽ.

Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {\left| {x – 1} \right|} \right) – {x^2} + 2x + 2020\) đồng biến trên khoảng nào?

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị hàm số \(y = f’\left( x \right)\) cho như hình vẽ.

Hàm số \(g\left( x \right) = 2f\left( {\left| {x – 1} \right|} \right) – {x^2} + 2x + 2020\) đồng biến trên khoảng nào?

A. \(\left( { – 2;0} \right)\).

B. \(\left( { – 3;1} \right)\).

C. \(\left( {1;3} \right)\).

D. \(\left( {0;1} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(g\left( x \right) = 2f\left( {\left| {x – 1} \right|} \right) – {x^2} + 2x + 2020 = 2f\left( {\sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2}} } \right) – {x^2} + 2x + 2020\)

\(g’\left( x \right) = 2\frac{{x – 1}}{{\left| {x – 1} \right|}}f’\left( {\left| {x – 1} \right|} \right) – 2x + 2 = 2\frac{{x – 1}}{{\left| {x – 1} \right|}}\left[ {f’\left( {\left| {x – 1} \right|} \right) – \left| {x – 1} \right|} \right]\)

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {\left| {x – 1} \right|} \right) = \left| {x – 1} \right|\)

Đặt \(t = \left| {x – 1} \right|\) thìtrở thành \(f’\left( t \right) = t.\)

Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f’\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = t.\)

Ta có đồ thị:

Dựa vào đồ thị ta có \(f’\left( t \right) = t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 1\\t = 3\end{array} \right.\)

ta được\(\left[ \begin{array}{l}\left| {x – 1} \right| = – 1\\\left| {x – 1} \right| = 1\\\left| {x – 1} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = – 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Từ đó ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên \(\left( {0;1} \right)\)

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC