Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\), \( – 2020 \le m \le 2020\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right) + m{x^2}\left( {{x^2} + \frac{8}{3}x – 6} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 3\,;\,0} \right)\)?
A. 2021.
B. 2020.
C. 2019.
D. 2022.
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \(g’\left( x \right) = 2xf’\left( {{x^2}} \right) + 4mx\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)\).
Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 3\,;\,0} \right)\) khi và chỉ khi \(g’\left( x \right) \ge 0\,,\,\forall x \in \left( { – 3\,;\,0} \right)\).
\(2xf’\left( {{x^2}} \right) + 4mx\left( {{x^2} + 2x – 3} \right) \ge 0\,,\,\forall x \in \left( { – 3\,;\,0} \right)\)\( \Leftrightarrow f’\left( {{x^2}} \right) – 2m\left( { – {x^2} – 2x + 3} \right) \le 0\,,\,\forall x \in \left( { – 3\,;\,0} \right)\)
\( \Leftrightarrow f’\left( {{x^2}} \right) \le 2m\left( { – {x^2} – 2x + 3} \right) \le 0\,,\,\forall x \in \left( { – 3\,;\,0} \right)\)\( \Leftrightarrow m \ge \frac{{f’\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( { – {x^2} – 2x + 3} \right)}}\,,\,\forall x \in \left( { – 3\,;\,0} \right)\)
\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left( { – 3\,;\,0} \right)} \frac{{f’\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( { – {x^2} – 2x + 3} \right)}}\,\).
Ta có \( – 3 < x < 0\)\( \Rightarrow 0 < {x^2} < 9\)\( \Rightarrow f’\left( {{x^2}} \right) \le – 3\).
Dấu khi \({x^2} = 1 \Rightarrow x = – 1\).
\( – {x^2} – 2x + 3 = – {\left( {x + 1} \right)^2} + 4\) \( \Rightarrow 0 < – {x^2} – 2x + 3 \le 4\), \(\forall x \in \left( { – 3\,;\,0} \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{ – {x^2} – 2x + 3}} \ge \frac{1}{4}\), dấu khi \(x = – 1\).
Suy ra \(\frac{{f’\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( { – {x^2} – 2x + 3} \right)}}\, \le \frac{{ – 3}}{{2.4}} = \frac{{ – 3}}{8}\), \(\forall x \in \left( { – 3\,;\,0} \right)\), dấu khi \(x = – 1\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( { – 3\,;\,0} \right)} \frac{{f’\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( { – {x^2} – 2x + 3} \right)}}\, = \frac{{ – 3}}{8}\,\).
\(m \ge \frac{{ – 3}}{8}\,\), mà \(m \in \mathbb{Z}\), \( – 2020 \le m \le 2020\) nên có 2021 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.
=======Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC