Tìm tập hợp các giá trị \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
A. \(\left( { – \infty ;0} \right)\).
B. \(\left( {3; + \infty } \right)\).
C. \(\left[ {3; + \infty } \right)\).
D. \(\left( { – \infty ;0} \right]\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \(g’\left( x \right) = \left( {{2^{1 + x}}\ln 2 + {2^{1 – x}}\ln 2} \right).f’\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right)\).
Do đó hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right)\) đồng biến trên \(\left( {1\,;\, + \infty } \right)\) khi và chỉ khi
\(\left( {{2^{1 + x}}\ln 2 + {2^{1 – x}}\ln 2} \right).f’\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right) \ge 0\), \(\forall x > 1\)
\( \Leftrightarrow f’\left( {{2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m} \right) \ge 0,\,\,\,\forall x > 1\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3 \le {2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m \le 0\\3 \le {2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m\end{array} \right.\,\,\,\forall x > 1\).\(\left( I \right)\)
Xét hàm số \(h\left( x \right) = {2^{1 + x}} – {2^{1 – x}} – m\).
Ta có: \(h’\left( x \right) = {2^{1 + x}}\ln 2 + {2^{1 – x}}\ln 2 > 0\), \(\forall x\).
Bảng biến thiên của \(h\left( x \right)\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\):
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy \(\left( I \right) \Leftrightarrow 3 – m \ge 3 \Leftrightarrow m \le 0\).
=======Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC
Trả lời