Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {x – m} \right) – \frac{1}{2}{\left( {x – m – 1} \right)^2} + 2021\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu số nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5;6} \right)\)?

Câu hỏi: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \(y = f’\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {x – m} \right) – \frac{1}{2}{\left( {x – m – 1} \right)^2} + 2021\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu số nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5;6} \right)\)?

A. \(2\).

B. \(5\).

C. \(4\).

D. \(3\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \(g’\left( x \right) = f’\left( {x – m} \right) – \left( {x – m – 1} \right)\)

Với \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f’\left( {x – m} \right) = x – m – 1\)

Đặt \(x – m = t \Leftrightarrow f’\left( t \right) = t – 1\)

Lúc đó nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f’\left( t \right)\) và và đường thẳng \(y = t – 1\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có được \(f’\left( t \right) = t – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 1\\t = 3\end{array} \right.\)

Bảng xét dấu của \(g’\left( t \right)\)

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1;1} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Hay \(\left[ \begin{array}{l} – 1 < t < 1\\t > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} – 1 < x – m < 1\\x – m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – 1 < x < m + 1\\x > m + 3\end{array} \right.\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5;6} \right)\) thì \(\left[ \begin{array}{l}m – 1 \le 5 < 6 \le m + 1\\m + 3 \le 5 < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 \le m \le 6\\m \le 2\end{array} \right.\)

Vì \(m\) là các số nguyên dương nên \(m \in \left\{ {1;2;5;6} \right\}\)

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC