Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{5}{\left( {f\left( x \right)} \right)^5} – \frac{4}{3}{\left( {f\left( x \right)} \right)^3} + 4f\left( x \right) + 2021\) luôn nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(f’\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{5}{\left( {f\left( x \right)} \right)^5} – \frac{4}{3}{\left( {f\left( x \right)} \right)^3} + 4f\left( x \right) + 2021\) luôn nghịch biến trên khoảng nào sau đây?\(\)

A. \(\left( { – \infty ;5} \right)\).

B. \(\left( { – \infty ;1} \right)\).

C. \(\left( {1; + \infty } \right)\).

D. \(\left( { – \infty ; + \infty } \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(f’\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x – \alpha } \right).h\left( x \right)\) với \(\alpha > 1\) và \(h\left( x \right) > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(g’\left( x \right) = \left[ {{f^4}\left( x \right) – 4{f^2}\left( x \right) + 4} \right].f’\left( x \right)\)

\( = {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2} \right]^2}.{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x – \alpha } \right).h\left( x \right)\).

Khi đó: \(g’\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow {\left[ {{f^2}\left( x \right) – 2} \right]^2}.{\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x – \alpha } \right).h\left( x \right) < 0\)\( \Leftrightarrow x < \alpha \) với \(\alpha > 1\).

Vậy hàm số \(g\left( x \right)\) luôn nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\).

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC