Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} – 3x + 1\,{\rm{khi }}x > 0\\1 – {x^2}{\rm{ }}\,{\rm{khi }}x \le 0\end{array} \right.\). Biết \(F\left( x \right)\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( { – 2} \right) = \frac{5}{3}\). Giá trị của \(F\left( { – 4} \right) + 4F\left( 3 \right)\) nằm trong khoảng nào?
A. \(\left( {52;53} \right)\).
B. \(\left( {53;54} \right)\).
C. \(\left( {54;55} \right)\).
D. \(\left( {55;56} \right)\).
GY:
Ta có \(\int\limits_{ – 2}^0 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = F\left( 0 \right) – F\left( { – 2} \right) = \int\limits_{ – 2}^0 {\left( {1 – {x^2}} \right){\rm{d}}x} = \frac{{ – 2}}{3}\).
⇒\(F\left( 0 \right) = \frac{{ – 2}}{3} + F\left( { – 2} \right) = \frac{{ – 2}}{3} + \frac{5}{3} = 1\). Hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 0\)
Mặt khác \(\int {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = \int {\left( {1 – {x^2}} \right){\rm{d}}x} = x – \frac{1}{3}{x^3} + {C_1}\)\({\rm{khi }}x \le 0\).
\(F\left( { – 2} \right) = \frac{5}{3}\)⇒\( – 2 – \frac{1}{3}{\left( { – 2} \right)^3} + {C_1} = \frac{5}{3}\)⇒\({C_1} = 1\).
Vậy \(F\left( x \right) = x – \frac{1}{3}{x^3} + 1\), \({\rm{khi }}x \le 0\). Từ đó ta tính được \(F\left( { – 4} \right) = \frac{{55}}{3}\).
Xét \(\int f \left( x \right){\rm{d}}x = \int {\left( {2{x^2} – 3x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + x + {C_2}\) \({\rm{khi }}x > 0\).
Ta có \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow {C_2} = 1\)
Vậy \(F\left( x \right) = \frac{2}{3}{x^3} – \frac{3}{2}{x^2} + x + 1\), \({\rm{khi }}x > 0\). Từ đó ta tính được \(4F\left( 3 \right) = 4.\frac{{17}}{2} = 34\).
Vậy \(F\left( { – 4} \right) + 4F\left( 3 \right) = \frac{{55}}{3} + 34 = \frac{{157}}{3} \approx 52,(3)\).
=======
Trả lời