(THPT Hương Sơn – Hà Tĩnh – 2022) Một biển quảng cáo có dạng hình tròn tâm \(O\), phía trong được trang trí bởi hình chữ nhật \(ABCD\); hình vuông \(MNPQ\) có cạnh \(MN = 2m\) và hai đường parabol đối xứng nhau chung đỉnh \(O\) như hình vẽ. Biết chi phí để sơn phần tô đậm là 300.000 đồng/m² và phần còn lại là 250.000 đồng/m². Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 3.439.000 đồng.

B. 3.628.000 đồng.

C. 3.580.000 đồng.

D. 3.363.000 đồng.

Lời giải:

Chọn A

Toạ độ các điểm \(A,B,C,D\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}y = {x^2}\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right.\).

Giải hệ ta được: \(A\left( {\frac{{\sqrt { – 2 + 2\sqrt {17} } }}{2};\frac{{ – 1 + \sqrt {17} }}{2}} \right) \equiv (m;{m^2})\).

Từ đó: phương trình đường thẳng \(AE:y = \frac{{{m^2} – 2}}{m}x + 2\); \(AF:y = \frac{{{m^2}}}{{m – 2}}(x – 2)\).

Do đó:

+) \({S_1} = \int\limits_0^1 {(1 – {x^2})} \,dx = \left. {\left( {x – \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{2}{3}\).

+) \({S_2} = \int\limits_1^m {{x^2}} \,dx = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_1^m = \frac{1}{3}{m^3} – \frac{1}{3}\).

+) \({S_3} = \int\limits_0^m {\left[ {\left( {\frac{{{m^2} – 2}}{m}x + 2} \right) – {m^2}} \right]} \,dx = \frac{{{m^2} – 2}}{m}\int\limits_0^m {(x – m)} \,dx\)\( = \frac{{{m^2} – 2}}{m}\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – mx} \right)} \right|_0^m = – \frac{1}{2}{m^3} + m\).

+) \({S_4} = \int\limits_m^2 {\left[ {\sqrt {4 – {x^2}} – \frac{{{m^2}}}{{m – 2}}(x – 2)} \right]} \,dx = \left. {\left[ {\left( {\frac{1}{2}x\sqrt {4 – {x^2}} + 2arc\sin \frac{x}{2}} \right) – \frac{{{m^2}}}{{m – 2}}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – 2x} \right)} \right]} \right|_m^2\)

\( = \frac{1}{2}{m^3} – \frac{1}{2}m\sqrt {4 – {m^2}} – {m^2} – 2arc\sin \frac{m}{2} + \pi \).

Suy ra: \({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4} = \frac{1}{3}{m^3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{2}m\sqrt {4 – {m^2}} – {m^2} + m – 2arc\sin \frac{m}{2} + \pi \).

Vậy số tiền để sơn biển quảng cáo là:

\(250000.\pi {2^2} + 50000.4({S_1} + {S_2} + {S_3} + {S_4}) \approx 3\,\,4\,39\,\,191\) đồng.