(THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left[ { – 1,1} \right]\) và thỏa mãn \(f(x) + 2 = \frac{3}{2}\int_{ – 1}^1 {(x + t)} f(t)dt\). với \(\forall x \in [ – 1;1]\) Tính tích phân \(I = \int_{ – 1}^1 f (x)dx\)

A. \(I = 3\)

B. \(l = 4\)

C. \(I = 2\)

D. \(\mathfrak{l} = 1\)

Lời giải:

\(\int_{ – 1}^1 {(x + t)} f(t)dt = \int_{ – 1}^1 x f(t)dt + \int_{ – 1}^1 t f(t)dt = ax +

B.\) Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \int_{ – 1}^1 f (t)dt}\\{b = \int_{ – 1}^1 t f(t)dt}\end{array}} \right.\)

Do đó \(f(x) + 2 = \frac{3}{2}(ax + b) \Rightarrow f(x) = \frac{3}{2}(ax + b) – 2\).

\(I = \int_{ – 1}^1 f (x)dx = \int_{ – 1}^1 {\left[ {\frac{3}{2}(ax + b) – 2} \right]} dx = \left. {\left[ {\frac{3}{2}\left( {\frac{{a{x^2}}}{2} + bx} \right) – 2x} \right]} \right|_{ – 1}^1 = 3b – 4 \Rightarrow a – 3b = – 4(1)\)\(\)

\(b = \int_{ – 1}^1 t \left[ {\frac{3}{2}(at + b) – 2} \right]dt = a \Rightarrow a = b(2).\)\(\)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a – 3b = – 4}\\{a = b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 2}\end{array}} \right.} \right.\).Vậy \(I = \int_{ – 1}^1 f (x)dx = 2\)