(Sở Hà Tĩnh 2022) Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} – {x^3} + 2x + 2\) và hàm số \(g\left( x \right) = b{x^3} – c{x^2} + 2\) có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi \({S_1};\,{S_2}\) là diện tích các hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ, biết \({S_1} = \frac{{221}}{{640}}\). Khi đó \({S_2}\) bằng

A. \(\frac{{791}}{{640}}\).

B. \(\frac{{571}}{{640}}\).

C. \(\frac{{271}}{{320}}\).

D. \(\frac{{1361}}{{640}}\).

Lời giải:

Chọn A

Ta có:

\({S_1} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {a{x^4} – \left( {b + 1} \right){x^3} + c{x^2} + 2x} \right){\rm{d}}x} = \frac{a}{{160}} – \frac{{b + 1}}{{64}} + \frac{c}{{24}} + \frac{1}{4} = \frac{{221}}{{640}}\)

\( \Leftrightarrow 4a – 10b + \frac{{80}}{3}c = 71\)

Dựa vào đồ thị ta thấy, các giao điểm của \(g\left( x \right)\) và trục hoành chính là điểm cực trị của \(f\left( x \right)\) nên \(f’\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) có ba nghiệm chung. Mặt khác \(f’\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) đều là hàm số bậc ba có hệ số tự do bằng \(2\) nên: \(g\left( x \right) = f’\left( x \right)\)\( \Rightarrow 4a{x^3} – 3{x^2} + 2 = b{x^3} – c{x^2} + 2,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4a\\c = 3\end{array} \right.\).

Từ đó ta được \(4a – 40a + 80 = 71 \Leftrightarrow a = \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} – {x^3} + 2x + 2\).

Vậy \({S_2} = \int\limits_{\frac{3}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{4}{x^4} – {x^3} + 2x + 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{{791}}{{640}}\).