(THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – 2022) \(\int_0^4 {\min } \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} dx{\rm{ }}\)bằng

A. \(\frac{{31}}{2}\).

B. 30.

C. \(\frac{{27}}{2}\).

D. 36.

Lời giải:

Xét \(2x + 1 = x + 2 \Leftrightarrow x = 1;x + 2 = – 3x + 14 \Leftrightarrow x = 3; – 3x + 14 = 2x + 1 \Leftrightarrow x = \frac{{13}}{5}\).

Vẽ đồ thị của ba hàm số \(f(x) = 2x + 1;g(x) = x + 2;h(x) = – 3x + 14\) trên đoạn \([0;4]\) trên cùng một hệ trục toạ độ và quan sát suy ra:

\(\)

\(\begin{array}{l}\min \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} = 2x + 1,\forall x \in [0;1]\\\min \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} = x + 2,\forall x \in [1;3]\\\min \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} = – 3x + 14,\forall x \in [3;4]\end{array}\)

Khi đó \(\int_0^4 {\min } \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} dx = \int_0^1 {(2x + 1)} dx + \int_1^3 {(x + 2)} dx + \int_3^4 {( – 3x + 14)} dx = \frac{{27}}{2}\).

Cách 2: Dùng công thức \(\min \{ a,b\} = \frac{{a + b – |a – b|}}{2}\) và \(\min \{ a,b,c\} = \min \{ a,\min \{ b,c\} \} \) khi đó \(\min \{ x + 2, – 3x + 14\} = \frac{{x + 2 – 3x + 14 – |(x + 2) – ( – 3x + 14)|}}{2} = – x + 8 – |2x – 6|.\)

Suy ra \(\begin{array}{l}\min \{ 2x + 1,x + 2, – 3x + 14\} = \min \{ 2x + 1,\min \{ x + 2, – 3x + 14\} \} \\ = \frac{{2x + 1 – x + 8 – |2x – 6| – |2x + 1 – ( – x + 8 – |2x – 6|)|}}{2}\end{array}\).

Tích phân cần tính bằng \(\int_0^4 {\frac{{2x + 1 – x + 8 – |2x – 6| – |2x + 1 – ( – x + 8 – |2x – 6|)|}}{2}} dx = \frac{{27}}{2}\).