(Sở Ninh Bình 2022) Gọi \(X\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(d\): \(y = – 45m – 2\) cùng với đồ thị \((C)\) của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – 2m{x^2} + x + 1\) tạo thành hai miền kín có diện tích lần lượt là \({S_1},{S_2}\) thỏa mãn \({S_1} = {S_2}\) (xem hình vẽ). Số phần tử của tập \(X\) là

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 9.

Lời giải:.

Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị \((C)\) có hai điểm cực trị và tâm đối xứng \(I\) của \((C)\) thuộc \(d\). Ta có \(f\prime (x) = {x^2} – 4mx + 1\) nên hàm số có hai điểm cực cực trị khi và chỉ khi

\(\Delta \prime = {(2m)^2} – 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \frac{1}{2}m < – \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)\(\)

Lại có

\(f\prime \prime (x) = 0 \Leftrightarrow 2x – 4m \Leftrightarrow x = 2m.\)\(\)

Với \(x = 2m\) thì \(f(x) = \frac{{ – 16}}{3}{m^3} + 2m + 1\) nên \(I\left( {2m;\frac{{ – 16}}{3}{m^3} + 2m + 1} \right)\). Suy ra \(I \in d\) khi và chỉ khi

\(\frac{{ – 16}}{3}{m^3} + 2m + 1 = – 45m – 2 \Leftrightarrow 16{m^3} – 141m – 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m = 3\\m = \frac{{ – 6 \pm \sqrt {33} }}{4}\end{array}\end{array}.} \right.\)\(\)

Dễ thấy \(m = \frac{{ – 6 + \sqrt {33} }}{4}\) không thỏa mãn, do đó \(X = \left\{ {3;\frac{{ – 6 – \sqrt {33} }}{4}} \right\}\).