(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn

\(2\cos x \cdot f(1 + 4\sin x) – \sin 2x \cdot f(3 – 2\cos 2x) = \sin 4x + 4\sin 2x – 4\cos x,\forall x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)\(\)

Khi đó \(I = \int_1^5 f (x)dx\) bằng

A. 2.

B. 0.

C. 8.

D. 16.

Lời giải:

Ta có: \(2\cos x \cdot f(1 + 4\sin x) – \sin 2x \cdot f(3 – 2\cos 2x) = \sin 4x + 4\sin 2x – 4\cos x\quad \) (*)

Lấy tích phân từ 0 đến \(\frac{\pi }{2}\) hai vế của \(\left( {^*} \right)\) ta được:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} 2 \cos x \cdot f(1 + 4\sin x)dx – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin } 2x \cdot f(3 – 2\cos 2x)dx = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {(\sin 4x + 4\sin 2x – 4\cos x)} dx\)\(\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} f (1 + 4\sin x)d(1 + 4\sin x) – \frac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi }{2}} f (3 – 2\cos 2x)d(3 – 2\cos 2x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}\int_1^5 f (t)dt – \frac{1}{4}\int_1^5 f (t)dt = 0\\ \Leftrightarrow \int_1^5 f (t)dt = 0 \Leftrightarrow \int_1^5 f (x)dx = 0\end{array}\)

Vậy \(I = \int_1^5 f (x)dx = 0.\)