Một công ty có ý định thiết kế một logo hình vuông có độ dài nửa đường chéo bằng 4. Biểu tượng 4 chiếc lá (được tô màu) được tạo thành bởi các đường cong đối xứng với nhau qua tâm của hình vuông và qua các đường chéo.

Một trong số các đường cong ở nửa bên phải của logo là một phần của đồ thị hàm số bậc ba dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} – x\) với hệ số \(a < 0\). Để kỷ niệm ngày thành lập \(2/3\), công ty thiết kế để tỉ số diện tích được tô màu so với phần không được tô màu bằng \(\frac{2}{3}\). Tính \(2a + 2b\)

A. \(\frac{{41}}{{80}}\).

B. \(\frac{1}{2}\).

C. \(\frac{4}{5}\).

D. \(\frac{9}{{10}}\).

Lời giải:

Ta có nửa đường chéo hình vuông có độ dài là 4, cạnh hình vuông sẽ là \(4\sqrt 2 \) và diện tích hình vuông là 32, khi đó ta có được diện tích phần tô màu là \(\frac{{64}}{5}\).

Gọi \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} – x\) là hàm số bậc ba biểu diễn đường cong trên logo.

Ta có \(x = 4\) là nghiệm của phương trình nên \(64a + 16b – 4 = 0 \Leftrightarrow 16a + 4b = 1\) (1).

Ta có phương trình phương trình \(f(x) = 0\) sẽ có các nghiệm là 0,4 và (Vì phần đồ thị này nằm dưới trục hoành)

Nên \(S = \int_0^4 {\left| {a{x^3} + b{x^2} – x} \right|} dx = – \int_0^4 {\left( {a{x^3} + b{x^2} – x} \right)} dx\)

\( = – \left. {\left( {\frac{{a{x^4}}}{4} + \frac{{b{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^4 = – 64a – \frac{{64}}{3}b + 8 = \frac{8}{5} \Leftrightarrow – 64a – \frac{{64}}{3}b = \frac{{ – 32}}{5}\)\(\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{16a + 4b = 1}\\{ – 64a – \frac{{64}}{3}b = \frac{{ – 32}}{5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ – 1}}{{20}}}\\{b = \frac{9}{{20}}}\end{array} \Rightarrow 2a + 2b = \frac{4}{5}} \right.} \right.\).