Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} + a{x^3} + bx + c\) và bảng biến thiên như sau:

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + m\left( {2{x^3} – 9{x^2} + 12x} \right)\). Tìm \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)

Câu hỏi: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{4}{x^4} + a{x^3} + bx + c\) và bảng biến thiên như sau:

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + m\left( {2{x^3} – 9{x^2} + 12x} \right)\). Tìm \(m\) để hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\)

A. \(m \in \left[ {0;\frac{1}{2}} \right]\).

B. \(m \in \left[ { – \frac{1}{2};0} \right]\).

C. \(m \in \left[ { – \frac{2}{3}; – \frac{1}{2}} \right]\).

D. \(m \in \left[ { – \frac{1}{3};0} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ giả thiết suy ra: \(f’\left( {\frac{{3 – 2x}}{4}} \right) = – \frac{1}{8}\left( {x + \frac{5}{2}} \right)\left( {x + \frac{1}{2}} \right)\left( {x – \frac{7}{2}} \right)\) \( = – \frac{1}{{64}}\left( {8{x^3} – 4{x^2} – 74x – 35} \right)\)

\( \Leftrightarrow f’\left( {\frac{{3 – 2x}}{4}} \right) = {\left( {\frac{{3 – 2x}}{4}} \right)^3} – 2{\left( {\frac{{3 – 2x}}{4}} \right)^2} – \left( {\frac{{3 – 2x}}{4}} \right) + 2\)

\( \Rightarrow f’\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g’\left( x \right) = {x^3} – 2{x^2} – x + 2 – m\left( {6{x^2} – 18x + 12} \right)\\ = {x^3} + \left( {6m – 2} \right){x^2} – \left( {1 + 18m} \right)x + 2 + 12m\\ = \left( {{x^2} – 3x + 2} \right)\left( {x + 1 + 6m} \right)\end{array}\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn \( \Leftrightarrow 2 \le – \left( {1 + 6m} \right) \le 3\) \( \Leftrightarrow – \frac{2}{3} \le m \le – \frac{1}{2}\).

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC