Cho hai số thực dương \(x,y\) thay đổi và thỏa mãn hệ thức\(4 + \ln \frac{{2x + 2y + 1}}{{5xy}} = 20xy – \left( {8x + 8y} \right)\).Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy + 9\) bằng

Cho hai số thực dương \(x,y\) thay đổi và thỏa mãn hệ thức
\(4 + \ln \frac{{2x + 2y + 1}}{{5xy}} = 20xy – \left( {8x + 8y} \right)\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy + 9\) bằng

A. \(m = 11.\) B. \(m = 10.\) C. \(m = 12 \cdot \) D. \(m = \frac{{19}}{2} \cdot \)
Lời giải:

Ta có
\(4 + \ln \frac{{2x + 2y + 1}}{{5xy}} = 20xy – 8x – 8y\,\,\, \Leftrightarrow \ln \left( {2x + 2y + 1} \right) – \ln \left( {5xy} \right)\, = 4\left( {5xy} \right) – 4\left( {2x + 2y + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln \left( {2x + 2y + 1} \right) + 4\left( {2x + 2y + 1} \right) = \ln \left( {5xy} \right)\, + 4\left( {5xy} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = 4t + \ln t\) với \(t > 0\).
Vì \(f’\left( t \right) = 4 + \frac{1}{t} > 0,\,\,\forall t > 0\) nên \(f(t)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\,\, + \infty } \right).\)
Như vậy \(\left( 1 \right)\,\,\, \Leftrightarrow \,\,f\left( {2x + 2y + 1} \right) = f\left( {5xy} \right)\,\, \Leftrightarrow 2x + 2y + 1 = 5xy\,\,(2).\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(2x + 2y + 1 \ge 4\sqrt {xy} + 1\,(3).\,\,\,\,\)
Từ và suy ra \(5xy \ge 4\sqrt {xy} + 1\,\, \Leftrightarrow 5{\sqrt {xy} ^2} – 4\sqrt {xy} – 1 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {\sqrt {xy} – 1} \right)\left( {5\sqrt {xy} + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 1\,\,\,\left( {{\rm{do}}\,\,x > 0,y > 0} \right).\)
Dẫn tới \(P = xy + 9 \ge 10.\) Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}xy = 1\\x = y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 1.\)
Vậy \(\min P = 10\) đạt được khi \(x = y = 1.\)

===========
Đây là các câu VD-VDC trong đề ÔN TẬP HÀM SỐ MŨ – LOGARIT.