Cho hai số phức \({z_1}\), \({z_2} \ne – 1\) thỏa mãn các điều kiện \(\left| {{z_1}} \right| = 2\), \(\frac{{{z_2} – 1}}{{{z_2} + 1}}\) là số thuần ảo và \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = 4\). Giá trị của \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right|\) bằng
A. \(1\).
B. \(2\).
C. \(9\).
D. \(10\).
Lời giải
• Đặt\({z_2} = a + bi,\left( {a,b\; \in \mathbb{R}} \right)\),
• Ta có:
\(\frac{{{z_2} – 1}}{{{z_2} + 1}} = \frac{{\left( {a – 1} \right) + bi}}{{\left( {a + 1} \right) + bi}} = \frac{{\left[ {\left( {a – 1} \right) + bi} \right]\left[ {\left( {a + 1} \right) – bi} \right]}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}}} = \frac{{\left( {{a^2} – 1 + {b^2}} \right)}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}}} + \frac{{\left( {\left( {a + 1} \right)b – \left( {a – 1} \right)b} \right)i}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}}}\)
\(\frac{{{z_2} – 1}}{{{z_2} + 1}}\) là số thuần ảo \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 1\)\( \Rightarrow {\left| {{z_2}} \right|^2} = 1.\)
• \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = 4 \Rightarrow 16 = {\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow \left( {{z_1} + 2{z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} + 2\overline {{z_2}} } \right) = 16\)
\( \Rightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + 4{\left| {{z_2}} \right|^2} + 2\left( {{z_1}\overline {{z_2}} + {z_2}\overline {{z_1}} } \right) = 16\)\( \Rightarrow \left( {{z_1}\overline {{z_2}} + {z_2}\overline {{z_1}} } \right) = 4\)
Ta có \({\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} – {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} – \overline {{z_2}} } \right) = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} – \left( {{z_1}\overline {{z_2}} + {z_2}\overline {{z_1}} } \right) = 4 + 1 – 4 = 1\)
\( \Rightarrow \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = 1\).
===========
Tương tự Câu 42 TÍNH MODUN 2 SỐ PHỨC VẬN DỤNG – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024 -.docx có lời giải
Trả lời