Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm \(O\), bán kính \(R\) thành hai hình tròn cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Tính khoảng cách \(h\) giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\)để diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất.

A. \(h = R\).

B. \(h = R\sqrt 2 \).

C. \(h = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(2R\sqrt 3 \).

Lời giải:

Cắt khối cầu tâm \(O\), bán kính \(R\)bằng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua tâm \(O\) và vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right)\) ta được hình như hình vẽ bên dưới.

Trong đó, \(AB = \left( \alpha \right) \cap \left( P \right),\,\,CD = \left( \alpha \right) \cap \left( Q \right)\)với \(AB = CD\), \(h = SH = AC = BD\), \(R = OB\).

Đường sinh \(l = SC = SD\).

Bán kính của mỗi hình tròn giao tuyến là \(r = \frac{{AB}}{2}\).

Ta có: \({l^2} = S{C^2} = A{C^2} + A{S^2} = {h^2} + {r^2}\) và \({r^2} = S{B^2} = O{B^2} – S{O^2} = {R^2} – \frac{{{h^2}}}{4}\).

Suy ra \({h^2} = {l^2} – {r^2} = 4{R^2} – 4{r^2} \Leftrightarrow {l^2} + 3{r^2} = 4{R^2}\).

Mà diện tích xung quanh của khối nón được xét là: \({S_{xq}} = \pi rl\).

Ta có \({S_{xq}}\) đạt giá trị lớn nhất \( \Leftrightarrow \) \(rl\) đạt giá trị lớn nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số \(r\sqrt 3 \) và \(l\) ta có

\(rl = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}.2.\left( {r\sqrt 3 } \right)l \le \frac{{\sqrt 3 }}{6}\left( {3{r^2} + {l^2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}.4{R^2} = \frac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{3}\).

\(rl\) lớn nhất là \(\frac{{2{R^2}\sqrt 3 }}{3}\) khi và chỉ khi \(3{r^2} = {l^2} \Leftrightarrow {h^2} = \frac{4}{3}{R^2} \Rightarrow h = \frac{{2R\sqrt 3 }}{3}.\)