• Skip to main content
  • Skip to secondary menu
  • Bỏ qua primary sidebar
Sách Toán – Học toán

Sách Toán - Học toán

Giải bài tập Toán từ lớp 1 đến lớp 12, Học toán online và Đề thi toán

  • Môn Toán
  • Học toán
  • Toán 12
  • Sách toán
  • Đề thi
  • Ôn thi THPT Toán
  • Tiện ích Toán
Bạn đang ở:Trang chủ / Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit / Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn: \({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right).\) Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\)nằm trong khoảng

Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn:

\({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right).\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\)nằm trong khoảng

Ngày 06/02/2022 Thuộc chủ đề:Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit Tag với:Ham so dac trung Loagrit VDC

Câu hỏi:
Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn:

\({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right).\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\)nằm trong khoảng

A. \(\left( {1;\,2} \right)\). 

B. \(\left( {1;\,\frac{3}{2}} \right)\). 

C. \(\left( {2;\,3} \right)\). 

D. \(\left( {0;\,1} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x + y + z > 0.\)

Ta có: \({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right)\) 

\( \Leftrightarrow {\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) – {\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] = {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2\left( {x + y + z} \right)\) 

\( \Leftrightarrow 2{\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) = 2{\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2}\) 

\( \Leftrightarrow 2{\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) + 1 + 4\left( {x + y + z} \right) = 2{\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1\) 

\( \Leftrightarrow 2{\log _{16}}4\left( {x + y + z} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) = 2{\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{\log _{16}}t + t\) trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\). Có: \(f’\left( t \right) = \frac{2}{{t \cdot \ln 16}} + 1 > 0\,;\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(f\left( t \right) = 2{\log _{16}}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

Từ đó suy ra:

\(f\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right) = f\left( {4\left( {x + y + z} \right)} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1 = 4\left( {x + y + z} \right)\) 

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 2z + \frac{1}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \frac{5}{2}\,.\, & \left( * \right)\) 

là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;\,1;\,1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {\frac{5}{2}} \).

\(F = \frac{{x – y – z}}{{x + y + z}} \Leftrightarrow F\left( {x + y + z} \right) = x – y – z \Leftrightarrow \left( P \right):\left( {F – 1} \right)x + \left( {F + 1} \right)y + \left( {F + 1} \right)z = 0\).

\(F\) đạt \(\max \)thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có điểm chung nên:

\(d(I;(P)) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3F + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {F – 1} \right)}^2} + {{\left( {F + 1} \right)}^2} + {{\left( {F + 1} \right)}^2}} }} \le \sqrt {\frac{5}{2}}\Leftrightarrow 3{F^2} + 2F – 13 \le 0\).

\( \Leftrightarrow \frac{{ – 1 – 2\sqrt {10} }}{3} \le F \le \frac{{ – 1 + 2\sqrt {10} }}{3} \Rightarrow \max F = \frac{{ – 1 + 2\sqrt {10} }}{3} \approx 1,77\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit

Bài liên quan:

  1. Cho \(a;b;c\) là các số thực không âm thỏa mãn \({\log _2}\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{1 + {a^2}}} = 2 – 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 10{a^2} + 10{b^2} + {c^2}\).

  2. Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{a}{{\sqrt {2b + 3c + 1} }} + \frac{1}{2}{2^{{a^2}}} \ge {4^b}{.8^c}\). Biết rằng biểu thức \(P = \frac{a}{2} + \frac{1}{{2b + 1}} + \frac{3}{c}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(a = m,\,\,b = n,\,\,c = p\). Khi đó, tổng \(m + n + p\) bằng:

  3. Gọi \(M\) và \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|}} + {2^{\left| {{\rm{cos}}x} \right|}}\). Tính tổng \(T = 1010M + 2021m\).

  4. Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực thỏa mãn \({2^{2ab – {c^2}}}\left( {{{64}^{a + b}} + 6a + 6b + 2ab – {c^2}} \right) = 1\). Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 2{a^2} + 5{b^2} – {c^2} + 2021\) và \(S\) là tập hợp các ước nguyên dương của \(m\). Số phần tử của tập \(S\) là

  5. Cho các số thực dương \(a,{\rm{ }}b\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{a + 1}}{{2b}} = 2b – 3a – 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{2}{3}{b^3} – \frac{9}{2}{b^2} + 6a + 6\).

  6. Cho các số thực dương \(x,y,a,b\) thỏa mãn \(a,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = ab\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{{16}^{x + y}} – {{513.4}^{x + y}} + {2^{x + y + 5}} + 4\ln 2}}{{{{2.4}^{x + y + 4}} – {2^{x + y + 5}} – \left( {x + y + 4} \right)\ln 2}}\) bằng

  7. Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3(y – \sqrt {1 + x} ) – {y^2} + x\).

    Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) bằng

  8. Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \(0 \le x,y \le 1\) và \({\log _2}\frac{{x + y}}{{2 – xy}} + 2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) – 6 = 0\). Tìm giá trị lớn nhất của \(P = 3x + y\).

  9. Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \({\log _3}\frac{{x + 4y}}{{x + y}} = 2x – y + 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{3{x^3}y}}{{{{(x + y)}^2}}} + \frac{{2y}}{{x(x + y)}}\) là m. Mệnh đề nào sau đây đúng?

  10. Cho các số thực dương \(a\), \(b\) thỏa mãn \(\ln \frac{{2 – 2ab}}{{a + b}} = 2ab + a + b – 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của \(P = a + 2b\).

  11. Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right) + y\left( {{x^2} – 2y} \right) = 4{\log _9}y\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {x^2} – 2y – 3{y^2} – 1\) là

  12. Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right) + c\left( {c – 4} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).

  13. Cho 3 số thực dương \(a,b,c\). Biết rằng \(c \le 3\) và các số thực \(a,b,c\) thoả mãn hệ 

    thức: \(\ln \frac{{{a^3} + {b^3} + \left( {a + b} \right)\left( {3ab + 1} \right)}}{c} + a + b – c = \ln \left( {{c^2} + 1} \right)\)

    Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{a + b + c}}{{abc}}\)

  14. Xét các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {x – 1} \right) + {\log _2}\left( {y – 2} \right) = 2\). Khi biểu thức \(P = x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(3x – 2y = a + b\sqrt 3 \) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính \(T = ab\)?

  15. Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn:

    \({2^{{x^2} – 2x + 4}} + {\left( {4x + 4y – 4} \right)^2} – 32y\left( {x + 1} \right) = {2^{ – {y^2} + 4y}} – 48\)

    Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y\) là.

Reader Interactions

Để lại một bình luận Hủy

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Sidebar chính

MỤC LỤC

Booktoan.com (2015 - 2025) Học Toán online - Giải bài tập môn Toán, Sách giáo khoa, Sách tham khảo và đề thi Toán.
Giới thiệu - Liên hệ - Bản quyền - Sitemap - Quy định - Hướng dẫn.