Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn:

\({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right).\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\)nằm trong khoảng

Câu hỏi:
Cho các số thực \(x,y,z\) thỏa mãn:

\({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right).\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = \frac{{x + y – z}}{{x + y + z}}\)nằm trong khoảng

A. \(\left( {1;\,2} \right)\). 

B. \(\left( {1;\,\frac{3}{2}} \right)\). 

C. \(\left( {2;\,3} \right)\). 

D. \(\left( {0;\,1} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(x + y + z > 0.\)

Ta có: \({\log _{16}}\left( {\frac{{x + y + z}}{{2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1}}} \right) = x\left( {x – 2} \right) + y\left( {y – 2} \right) + z\left( {z – 2} \right)\) 

\( \Leftrightarrow {\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) – {\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] = {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2\left( {x + y + z} \right)\) 

\( \Leftrightarrow 2{\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) = 2{\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2}\) 

\( \Leftrightarrow 2{\log _{16}}\left( {x + y + z} \right) + 1 + 4\left( {x + y + z} \right) = 2{\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1\) 

\( \Leftrightarrow 2{\log _{16}}4\left( {x + y + z} \right) + 4\left( {x + y + z} \right) = 2{\log _{16}}\left[ {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right] + 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{\log _{16}}t + t\) trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\). Có: \(f’\left( t \right) = \frac{2}{{t \cdot \ln 16}} + 1 > 0\,;\,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số \(f\left( t \right) = 2{\log _{16}}t + t\) đồng biến trên \(\left( {0\,;\, + \infty } \right)\).

Từ đó suy ra:

\(f\left( {2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1} \right) = f\left( {4\left( {x + y + z} \right)} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 1 = 4\left( {x + y + z} \right)\) 

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 2z + \frac{1}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \frac{5}{2}\,.\, & \left( * \right)\) 

là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;\,1;\,1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {\frac{5}{2}} \).

\(F = \frac{{x – y – z}}{{x + y + z}} \Leftrightarrow F\left( {x + y + z} \right) = x – y – z \Leftrightarrow \left( P \right):\left( {F – 1} \right)x + \left( {F + 1} \right)y + \left( {F + 1} \right)z = 0\).

\(F\) đạt \(\max \)thì mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có điểm chung nên:

\(d(I;(P)) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3F + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {F – 1} \right)}^2} + {{\left( {F + 1} \right)}^2} + {{\left( {F + 1} \right)}^2}} }} \le \sqrt {\frac{5}{2}}\Leftrightarrow 3{F^2} + 2F – 13 \le 0\).

\( \Leftrightarrow \frac{{ – 1 – 2\sqrt {10} }}{3} \le F \le \frac{{ – 1 + 2\sqrt {10} }}{3} \Rightarrow \max F = \frac{{ – 1 + 2\sqrt {10} }}{3} \approx 1,77\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit