Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện sau đây \(x > 2;y >- 4\) và \({\log _3}\left( {y + 4} \right)\left( {x – 2} \right) + \frac{{xy + 4x – 2y – 9}}{{x – 2}} = 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây \(P = x + 3y + 10\)thuộc tập hợp nào dưới đây?

Câu hỏi:
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn điều kiện sau đây \(x > 2;y >- 4\) và \({\log _3}\left( {y + 4} \right)\left( {x – 2} \right) + \frac{{xy + 4x – 2y – 9}}{{x – 2}} = 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau đây \(P = x + 3y + 10\)thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. \(\left[ {1;2} \right)\). 

B. \(\left( {\left. {2;3} \right]} \right.\). 

C. \(\left[ { – 3;0} \right)\). 

D. \(\left[ {3;4} \right)\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Với điều kiện \(x > 2;y >- 4 \Rightarrow x – 2 > 0;y + 4 > 0\).

Ta có: \({\log _3}\left( {y + 4} \right)\left( {x – 2} \right) + \frac{{xy + 4x – 2y – 9}}{{x – 2}} = 0\) 

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {y + 4} \right) + {\log _3}\left( {x – 2} \right) + \frac{{y\left( {x – 2} \right) + 4\left( {x – 2} \right) – 1}}{{x – 2}} = 0\) 

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {y + 4} \right) + \left( {y + 4} \right) =- {\log _3}\left( {x – 2} \right) + \frac{1}{{x – 2}}\) 

\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {y + 4} \right) + \left( {y + 4} \right) = {\log _3}\left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right) + \frac{1}{{x – 2}}{\rm{(1)}}{\rm{.}}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\,\,\,(t > 0)\), có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t > 0\).

Suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Do đó \((1) \Leftrightarrow f\left( {y + 4} \right) = f\left( {\frac{1}{{x – 2}}} \right) \Leftrightarrow y + 4 = \frac{1}{{x – 2}}\).

Khi đó: \(P = x + 3y + 10 = x + 3\left( {\frac{1}{{x – 2}} – 4} \right) + 10 = x – 2 + \frac{3}{{x – 2}} \ge 2\sqrt 3 \) 

Dấu xảy ra khi \(x – 2 = \frac{3}{{x – 2}} \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3+ 2\).

Vậy \(\min P = 2\sqrt 3\in \left[ {3;4} \right).\)

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit