Cho các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(4 + {9.3^{2{x^2} – 3y}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} – 3y}}} \right){.7^{3y – 2{x^2} + 2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2x + 3y + 202}}{x}\).

Câu hỏi:
Cho các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(4 + {9.3^{2{x^2} – 3y}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} – 3y}}} \right){.7^{3y – 2{x^2} + 2}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{2x + 3y + 202}}{x}\).

A. \(P = \frac{{34 + 3\sqrt 2 }}{5}\) . 

B. \(P = 42\) .  

C. \(P = 2 + 12\sqrt 2 \).  

D. \(P = 42\sqrt 2 \) .

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ giả thiết ta đặt \(t = 2{x^2} – 3y\), \(t \in \mathbb{R}\).

Phương trình \(4 + {9.3^{2{x^2} – 3y}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} – 3y}}} \right){.7^{3y – 2{x^2} + 2}}\)trở thành

\(4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right).\frac{{49}}{{{7^t}}} \Leftrightarrow 4\left( {{7^t} – 49} \right) + {9^t}\left[ {9.{{\left( {\frac{7}{3}} \right)}^t} – 49} \right] = 0\).

Nhận thấy \(t = 2\) là nghiệm phương trình.

Ta chứng minh \(t = 2\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Xét \(t > 2\): \({7^t} > 49\) và \(9.{\left( {\frac{7}{3}} \right)^t} > 49\) nên vế trái phương trình luôn dương, nên phương trình vô nghiệm.

Xét \(t < 2\): \({7^t} < 49\) và \(9.{\left( {\frac{7}{3}} \right)^t} < 49\) nên vế trái phương trình luôn âm, nên phương trình vô nghiệm. Vậy \(t = 2{x^2} – 3y = 2\)\( \Leftrightarrow y = \frac{{2{x^2} – 2}}{3}\) thay vào

\(P = \frac{{2x + 3y + 202}}{x} = \frac{{2{x^2} + 2x + 200}}{x} = 2x + \frac{{200}}{x} + 2 \ge 2\sqrt {2x.\frac{{200}}{x}}+ 2 = 42\)

Dấu bằng đạt được khi \(2x = \frac{{200}}{x} \Rightarrow x = 10\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit