_{CÂU HỎI:} Cho các số thực \(x\,,\,y\) thỏa mãn bất đẳng thức \({\log _{4{x^2} + 9{y^2}}}\left( {2x + 3y} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) là

Câu hỏi:

_{CÂU HỎI:} Cho các số thực \(x\,,\,y\) thỏa mãn bất đẳng thức \({\log _{4{x^2} + 9{y^2}}}\left( {2x + 3y} \right) \ge 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = x + 3y\) là

A. \(\frac{3}{2}\). 

B. \(\frac{{2 + \sqrt {10} }}{4}\). 

C. \(\frac{{3 + \sqrt {10} }}{4}\). 

D. \(\frac{{5 + \sqrt {10} }}{4}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 0\\4{x^2} + 9{y^2} \ne 1\end{array} \right.\). Trường hợp 1: \(4{x^2} + 9{y^2} < 1\).

Ta có \({\left( {2x} \right)^2} + {\left( {3y} \right)^2} < 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 1\\3y < 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x + 3y < \frac{1}{2} + 1 \Rightarrow P < \frac{3}{2}\). \(\left( 1 \right)\)

Trường hợp 2: \(4{x^2} + 9{y^2} > 1\).

Khi đó \({\log _{4{x^2} + 9{y^2}}}\left( {2x + 3y} \right) \ge 1 \Leftrightarrow 2x + 3y \ge 4{x^2} + 9{y^2}\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {3y – \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{1}{2}\).

\(P = x + 3y = \frac{1}{2}\left( {2x – \frac{1}{2}} \right) + \left( {3y – \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{4}\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta được: 

\({\left[ {\frac{1}{2}\left( {2x – \frac{1}{2}} \right) + \left( {3y – \frac{1}{2}} \right)} \right]^2} \le \left( {\frac{1}{4} + 1} \right)\left[ {{{\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {3y – \frac{1}{2}} \right)}^2}} \right] \le \frac{5}{8}\).

Suy ra \(P = \frac{1}{2}\left( {2x – \frac{1}{2}} \right) + \left( {3y – \frac{1}{2}} \right) + \frac{3}{4} \le \frac{{3 + \sqrt {10} }}{4}\). \(\left( 2 \right)\)

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2x – \frac{1}{2}} \right) = 3y – \frac{1}{2}\\x + 3y = \frac{{3 + \sqrt {10} }}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8x – 6y = 1\\4x + 12y = 3 + \sqrt {10} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5 + \sqrt {10} }}{{20}}\\y = \frac{{5 + 2\sqrt {10} }}{{30}}\end{array} \right.\).Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)suy ra giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\frac{{3 + \sqrt {10} }}{4}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit