Câu 44: (MH Toan 2020) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x){e^x}\), họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\prime (x){e^x}\) là
A. \( – \sin 2x + \cos 2x + C\).
B. \( – 2\sin 2x + \cos 2x + C\).
C. \( – 2\sin 2x – \cos 2x + C\).
D. \(2\sin 2x – \cos 2x + C\).
Đáp án: C
Ta có: \(\int f (x){e^x}{\rm{d}}x = \cos 2x + C\)
\( \Rightarrow f(x){e^x} = – 2\sin 2x\)
Tính \(\int f \prime (x){e^x}{\rm{d}}x\), ta có
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {e^x}}\\{{\rm{d}}v = f\prime (x){\rm{d}}x}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = {e^x}{\rm{d}}x}\\{v = f(x)}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow \int f \prime (x){e^x}{\rm{d}}x = {e^x}f(x) – \int f (x){e^x}{\rm{d}}x = – 2\sin 2x – \cos 2x + C\)