Câu 42: (MH Toan 2020) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right|\) trên đoạn \([0;3]\) bằng \(16\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

Câu 42: (MH Toan 2020) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \left| {{x^3} – 3x + m} \right|\) trên đoạn \([0;3]\) bằng \(16\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng
A. \( – 16\).
B. \(16\).
C. \( – 12\).
D. \( – 2\).

Lời giải
Đáp án: A
Xét hàm số \(y = {x^3} – 3x + m\) trên đoạn \([0;3]\)

Ta có \(y\prime = 3{x^2} – 3\); \(y\prime = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in [0;3]\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\max }\limits_{[0;3]} y = \left\{ {y(0);\;y(1);\;y(3)} \right\} = \max \left\{ {m;\;m – 2;\;m + 18} \right\} = m + 18}\\{\mathop {\min }\limits_{[0;3]} y = \left\{ {y(0);\;y(1);\;y(3)} \right\} = \min \left\{ {m;\;m – 2;\;m + 18} \right\} = m – 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{[0;3]} f(x) = \max \left\{ {|m – 2|;\;|m + 18|} \right\}\)

Để giá trị lớn nhất của \(f(x)\) tại \([0;3]\) bằng \(16\) thì \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|m + 18| = 16}\\{|m + 18| \ge |m – 2|}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|m – 2| = 16}\\{|m – 2| \ge |m + 18|}\end{array}} \right.\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|m + 18| = 16}\\{|m + 18| \ge |m – 2|}\end{array}} \right.\)
Ta có: \(|m + 18| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 18 = 16\\m + 18 = – 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\\m = – 34\end{array} \right.\)
Thay \(m = – 2\) và \(m = – 34\) vào \(|m + 18| \ge |m – 2|\) thì chỉ có \(m = – 2\) thỏa mãn.
Trường hợp 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|m – 2| = 16}\\{|m – 2| \ge |m + 18|}\end{array}} \right.\)
Ta có \(|m – 2| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m – 2 = 16\\m – 2 = – 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 18\\m = – 14\end{array} \right.\)
Thay \(m = – 14\) và \(m = 18\) vào \(|m – 2| \ge |m + 18|\) thì chỉ có \(m = – 14\) thỏa mãn
\( \Rightarrow \) Tổng các giá trị của \(S\) là \( – 14 + – 2 = – 16\)