Biết hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x\) có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) (\({x_1} < {x_2}\)). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { – 6\,;\,6} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {{x_1}\,;\,{x_2}} \right)\)?

Câu hỏi: Biết hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x\) có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) (\({x_1} < {x_2}\)). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc \(\left[ { – 6\,;\,6} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\) nghịch biến trên \(\left( {{x_1}\,;\,{x_2}} \right)\)?

A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} – 3x\)

\(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 3\)

\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\).

Suy ra hàm số có hai điểm cực trị là \({x_1} = – 1\) và \({x_2} = 1\).

Bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\)

Xét hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\)

Ta có \(y’ = f’\left( x \right)f’\left( {f\left( x \right) + m} \right)\)

Từ bảng xét dấu \(f’\left( x \right)\) suy ra\(f’\left( x \right) < 0\), \(\forall x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)\).

Đồng thời với mọi \(x\) thuộc khoảng \(\left( { – 1\,;\,1} \right)\)\( \Rightarrow f\left( x \right) \in \left( { – 2\,;\,2} \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) + m \in \left( { – 2 + m\,;\,2 + m} \right)\)

Để hàm số \(y = f\left( {f\left( x \right) + m} \right)\) nghịch biến trên \(\left( { – 1\,;\,1} \right)\) thì \(y’ \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)\)

\( \Leftrightarrow f’\left( {f\left( x \right) + m} \right) \ge 0\), \(\forall x \in \left( { – 1\,;\,1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) + m \le – 1,{\rm{ }}\forall x \in \left( { – 1\,;1} \right)\\f(x) + m \ge 1,{\rm{ }}\forall x \in \left( { – 1\,;1} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + m \le – 1\\ – 2 + m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le – 3\\m \ge 3\end{array} \right.\).

Suy ra \(m \in \left\{ { – 6\,;\, – 5\,;\, – 4\,;\, – 3\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6} \right\}\).

Vậy có tất cả 8 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

=======
Thuộc mục: Đơn điệu hàm hợp VDC