Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 15\). Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(A\left( {0;\,0;\, – 4} \right)\), song song với đường thẳng \(\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 2\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\) sao cho khối nón có đỉnh là tâm của \(\left( S \right)\) và đáy là đường tròn \(\left( C \right)\), có thể tích lớn nhất. Biết rằng \(\left( \alpha  \right):ax + by – z + c = 0\). Khi đó \(a + 2b + c\) bằng

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\) \(,B\left( {4;2;3} \right)\) và mặt cầu \((S)\) có bán kính R luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng \(AB\) luôn nằm trong mặt cầu \((S)\). Khi thể tích khối trụ đạt giá trị lớn nhất thì \(\left( \beta  \right)\) đi qua điểm nào sau đây?

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;1;1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;2;0} \right)\). Xét khối chóp đều \(A.BCD\) có \(B,\,\,C,\,\,D\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\). Khi khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích lớn nhất, mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) có phương trình dạng \(x + by + cz + d = 0\). Giá trị của \(b + c + d\) bằng

Trong hệ tọa độ \(Oxyz\),cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24\) và ba điểm \(A\left( {2; – 2;5} \right),\,\,B\left( {3;1; – 1} \right),\,\,C\left( {0;2; – 3} \right)\). \(M\left( {a;b;c} \right)\) là một điểm nằm trên mặt cầu sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  – 2\overrightarrow {MB}  + 3\overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó \({a^2} – 2{b^2} + 3{c^2}\) bằng.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), một \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M(2;2;2)\) và cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\) sao cho mặt cầu tâm \(I(m;n;p)\) ngoại tiếp tứ diện \(OABC\)có thể tích nhỏ nhất. Khi đó giá trị \(2m + n + q\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {0;0;5} \right)\), đi qua \(O\) và \(\left( N \right)\) là hình nón ngoại tiếp với \(\left( S \right)\). Biết rằng đáy của \(\left( N \right)\) nằm trong mặt phẳng tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(O\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích bé nhất, điểm nào sau đây nằm trên đường tròn đáy của \(\left( N \right)\)?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\) và hai điểm \(A\left( {4;4;3} \right),B\left( {1;1;1} \right).\) Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M \in \left( S \right)\) để cho \(\left| {MA – 2MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \(\left( {{C_1}} \right)\) là một đường tròn bán kính \({R_1}.\) Tính \({R_1}.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\,\frac{x}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 1}} = \frac{{z + 4}}{2}\,;\,\) \({d_2}:\,\frac{{x + 8}}{2} = \frac{{y – 6}}{1} = \frac{{z – 10}}{{ – 1}}\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng \({d_1}\,;\,{d_2}\) và có bán kính nhỏ nhất. Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) là

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 – \sqrt 3 }}{2};3} \right)\), \(B\left( {\frac{{5 – \sqrt 3 }}{2};\frac{{7 + \sqrt 3 }}{2};3} \right)\) và mặt cầu \((S):{(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 6\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\,\,(a,b,c,d \in \mathbb{Z}\) và \(d <  – 5)\) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm \(A,B\). Gọi \(\left( N \right)\) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu \((S)\) và có đường tròn đáy là giao tuyến của \((P)\) và \((S)\). Tính giá trị của \(T = \left| {a + b + c + d} \right|\) khi thiết diện qua trục của hình nón \(\left( N \right)\) có diện tích lớn nhất.