Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\) và hai điểm \(A\left( {4;4;3} \right),B\left( {1;1;1} \right).\) Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M \in \left( S \right)\) để cho \(\left| {MA – 2MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \(\left( {{C_1}} \right)\) là một đường tròn bán kính \({R_1}.\) Tính \({R_1}.\)

DẠNG TOÁN 50: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG (Tìm hệ số của phương trình mặt phẳng thỏa mãn các điều kiện cho trước lồng ghép với khối tròn xoay) ===============

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 8\) và hai điểm \(A\left( {4;4;3} \right),B\left( {1;1;1} \right).\) Gọi \(\left( {{C_1}} \right)\) là tập hợp các điểm \(M \in \left( S \right)\) để cho \(\left| {MA – 2MB} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \(\left( {{C_1}} \right)\) là một đường tròn bán kính \({R_1}.\) Tính \({R_1}.\)

A. \(\sqrt 7 .\) 

B. \(\sqrt 6 .\) 

C. \(2\sqrt 2 .\) 

D. \(\sqrt 3 .\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;3} \right)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 2 .\)

Gọi \(C\) là điểm trên đoạn \(IA\) thỏa mãn 

Xét \(\Delta IAM\) và \(\Delta IMC,\) ta có

\( \Rightarrow P = \left| {MA – 2MB} \right| = 2\left| {MC – MB} \right| \ge 0.\)

Dấu  xảy ra khi \(M\) nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn \(BC.\)

Mặt phẳng trung trực \(\left( P \right)\) của đoạn thẳng \(BC\)có phương trình là \(:z = 2.\)

Khi đó \(M\) nằm trên đường tròn có bán kính \({R_1} = \sqrt {{R^2} – d{{\left( {I,\left( P \right)} \right)}^2}}  = \sqrt {8 – 1}  = \sqrt 7 .\)

================= I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Phương trình mặt phẳng • Mặt phẳng (left( P right)) đi qua điểm (left( ;;} right)), có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n = left( right),; + + ne 0), có phương trình là : (Aleft( } right) + Bleft( } right) + Cleft( } right) = 0) 2.Khai triển củaphương trình tổng quát Dạng khai triển của phương trình tổng quát là: (Ax + By + Cz + D = 0) (trong đó A,B,C không đồng thời bằng 0)