Sách Toán - Học Toán - Đề Thi Toán

Học toán, Đề thi toán, Sách giáo khoa Toán, trắc nghiệm Toán online

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{2\cos x – 1}{\sin 2x – \sin x}$

by Để lại bình luận

📌 Đề bài:

Tìm tập xác định $D$ của hàm số lượng giác sau: $$y = \frac{2\cos x – 1}{\sin 2x – \sin x}$$

A. $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi; \, \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi; \, \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$
cos x sin x O 1/2 0 π π/3 -π/3 Điểm không thuộc TXĐ
Hình minh họa: Biểu diễn các điểm bị loại bỏ trên đường tròn lượng giác cho điều kiện $\sin x \neq 0$ và $\cos x \neq \frac{1}{2}$

📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm

Để tìm tập xác định của hàm số lượng giác dạng phân thức $y = \frac{f(x)}{g(x)}$, ta giải điều kiện $g(x) \neq 0$.

  • Công thức nhân đôi: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
  • Phương trình tích: $A \cdot B \neq 0 \Leftrightarrow \begin{cases} A \neq 0 \\ B \neq 0 \end{cases}$.
  • Nghiệm cơ bản: $\sin u \neq 0 \Leftrightarrow u \neq k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
  • Nghiệm cơ bản: $\cos u \neq \cos \alpha \Leftrightarrow u \neq \pm \alpha + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Tương tự như việc khảo sát sự biến thiên khi tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số chứa căn, bước đầu tiên và quan trọng nhất đối với hàm số lượng giác luôn là tìm đúng tập xác định.

💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)

Bước 1: Thiết lập điều kiện xác định

Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác $0$:

$$\sin 2x – \sin x \neq 0$$

Bước 2: Phân tích và giải điều kiện

Áp dụng công thức nhân đôi $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, ta có:

$$2\sin x \cos x – \sin x \neq 0 \iff \sin x(2\cos x – 1) \neq 0$$ $$\iff \begin{cases} \sin x \neq 0 \\ 2\cos x – 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Bước 3: Giải các điều kiện lượng giác cơ bản

  • $\sin x \neq 0 \iff x \neq k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.
  • $\cos x \neq \dfrac{1}{2} = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \iff x \neq \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$.

Bước 4: Kết luận tập xác định

Tập xác định của hàm số là:

$$D = \mathbb{R} \setminus \left\{ k\pi; \, \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$$

👉 Kết luận / Đáp án: Chọn B.

Nắm vững các phương pháp biểu diễn họ nghiệm trên đường tròn lượng giác sẽ hỗ trợ hiệu quả khi học các chuyên đề giải phương trình lượng giác cũng như khi phân tích tính đơn điệu để nhận biết khoảng nghịch biến của hàm số trong chương trình Toán THPT.

✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)

Bài tập 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{1 – \cos x}{\sin x}$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Điều kiện: $\sin x \neq 0 \iff x \neq k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$.

Bài tập 2: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \tan\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right)$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Điều kiện: $\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{4}\right) \neq 0 \iff 2x – \dfrac{\pi}{4} \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff 2x \neq \dfrac{3\pi}{4} + k\pi \iff x \neq \dfrac{3\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{3\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

Bài tập 3: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{\cot x}{\cos 2x + 1}$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Điều kiện xác định: $\begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos 2x + 1 \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq k\pi \\ 2\cos^2 x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{cases} \iff \sin 2x \neq 0 \iff x \neq \dfrac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{k\pi}{2}, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

Bài tập 4: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{1 – \cos x}}$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên $1 + \cos x \ge 0$ và $1 – \cos x \ge 0$ với mọi $x$.
Do đó biểu thức dưới căn luôn không âm khi mẫu khác 0: $1 – \cos x \neq 0 \iff \cos x \neq 1 \iff x \neq k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, \, k \in \mathbb{Z}\}$.

Bài tập 5: Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \dfrac{\tan x}{\sin x + \cos x}$.

💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Điều kiện: $\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin x + \cos x \neq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ \tan x \neq -1 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ x \neq -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \end{cases}$ ($k \in \mathbb{Z}$).
Đáp số: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi; \, -\dfrac{\pi}{4} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z} \right\}$.

Reader Interactions

Để lại phản hồi