📌 Đề bài:
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
- Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$.
- Hàm số được gọi là đồng biến (tăng) trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ (tương ứng với chiều mũi tên đi lên từ trái sang phải hoặc $f'(x) \ge 0$).
- Hàm số được gọi là nghịch biến (giảm) trên $K$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$ (tương ứng với chiều mũi tên đi xuống từ trái sang phải hoặc $f'(x) \le 0$).
- Kỹ năng đọc bảng biến thiên:
- Nhìn vào dòng của $y’$: Khoảng nào có $y’ < 0$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Nhìn vào dòng của $y$: Khoảng nào mũi tên đi xuống từ trái sang phải thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
- Bạn cũng có thể xem thêm các dạng bài tập tương tự như nhận diện tính đơn điệu hàm bậc bốn hoặc bài toán tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm trùng phương.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Dựa vào bảng biến thiên đã cho của hàm số $y = f(x)$:
- Trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$, đạo hàm mang dấu dương ($y’ > 0$) và mũi tên đồ thị đi lên $\implies$ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
- Trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$, đạo hàm mang dấu âm ($y’ < 0$) và mũi tên đồ thị đi xuống $\implies$ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Xét các phương án đề bài đưa ra:
- Phương án A: Khoảng $(-1; 1)$ chứa cả khoảng nghịch biến $(-1; 0)$ và khoảng đồng biến $(0; 1)$ nên hàm số không nghịch biến trên khoảng này $\implies$ Sai.
- Phương án B: Trên khoảng $(-1; 0)$, $y’ < 0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1; 0)$ $\implies$ Đúng.
- Phương án C: Trên khoảng $(0; 1)$, hàm số đồng biến $\implies$ Sai.
- Phương án D: Khoảng $(-\infty; 0)$ chứa cả khoảng $(-\infty; -1)$ đồng biến $\implies$ Sai.
👉 Kết luận: Chọn đáp án B.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x – 2)^2(x + 3)$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Ta có $f'(x) = 0 \iff x = 0,\ x = 2,\ x = -3$. Trong đó $x = 2$ là nghiệm bội chẵn nên $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x = 2$.
Xét dấu $f'(x)$:
- $f'(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$ hay trên $(-\infty; -3)$ và $(0; +\infty)$.
- $f'(x) < 0$ khi $x \in (-3; 0)$.
Do đó hàm số đồng biến trên $(0; +\infty)$ và $(-\infty; -3)$.
Đáp án đúng: D (hoặc C). Chọn D.
Bài tập 2: Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên với $x_1 = -2$ (cực đại, $y=3$) và $x_2 = 2$ (cực tiểu, $y=-1$). Khoảng nghịch biến của hàm số là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
Dựa vào tính chất hàm bậc ba, hàm số đạt cực đại tại $x = -2$ và cực tiểu tại $x = 2$ thì trên khoảng $(-2; 2)$, đạo hàm mang dấu âm ($y’ < 0$).
Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; 2)$. (Xem thêm bài viết về cực trị hàm bậc ba).
Đáp án đúng: B.
Bài tập 3: Cho hàm số nhất biến $y = \frac{2x + 1}{x – 1}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1}{(x – 1)^2} = \frac{-3}{(x – 1)^2} < 0,\ \forall x \ne 1$.
Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Chú ý không dùng ký hiệu hợp $\cup$ hay hiệu $\setminus$.
Đáp án đúng: C.
Bài tập 4: Cho hàm số hữu tỷ $y = \frac{x^2 – 3x + 3}{x – 1}$. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Đạo hàm: $y’ = \frac{(2x – 3)(x – 1) – (x^2 – 3x + 3)}{(x – 1)^2} = \frac{x^2 – 2x}{(x – 1)^2}$.
$y’ = 0 \iff x^2 – 2x = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 2$.
$y’ < 0 \iff x \in (0; 1) \cup (1; 2)$. Do đó hàm số nghịch biến trên các khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$.
Đáp án đúng: B.
Bài tập 5: Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên với đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = -2$, đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x = 3$. Khoảng đồng biến của hàm số là:
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Theo giả thiết:
- Trên $(-\infty; -2)$, $y’ < 0$ (hàm nghịch biến).
- Trên $(-2; 3)$, $y’ > 0$ (hàm đồng biến).
- Trên $(3; +\infty)$, $y’ < 0$ (hàm nghịch biến).
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 3)$.
Đáp án đúng: A.
Để lại phản hồi