📌 Đề bài:
Tính giá trị của biểu thức lượng giác sau:
$$P = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$$
📚 Phương pháp giải & Lý thuyết trọng tâm
Để giải các bài toán tích các hàm lượng giác có số đo góc đặc biệt, ta có thể áp dụng linh hoạt công thức biến đổi tích thành tổng:
- $\cos a \cos b = \frac{1}{2}\left[\cos(a + b) + \cos(a – b)\right]$
- $\sin a \sin b = \frac{1}{2}\left[\cos(a – b) – \cos(a + b)\right]$
- $\sin a \cos b = \frac{1}{2}\left[\sin(a + b) + \sin(a – b)\right]$
Chiến lược biến đổi: Nhóm tích hai góc đầu tiên rồi biến đổi thành tổng, sau đó nhân phân phối với thừa số thứ ba và tiếp tục áp dụng công thức tích thành tổng để triệt tiêu các đại lượng bù nhau (như $\cos 100^\circ = -\cos 80^\circ$). Tương tự như kỹ thuật tính giá trị biểu thức tích các sin, phương pháp này cho kết quả rất trực tiếp và chuẩn xác.
💡 LỜI GIẢI CHI TIẾT & CÁCH GIẢI TỪNG BƯỚC (Nhấn để mở)
Cách 1: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Ta nhóm hai thừa số $\cos 20^\circ$ và $\cos 40^\circ$:
$$P = (\cos 40^\circ \cos 20^\circ) \cos 80^\circ$$
Áp dụng công thức $\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a+b) + \cos(a-b)]$, ta có:
$$\cos 40^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2} [\cos(40^\circ + 20^\circ) + \cos(40^\circ – 20^\circ)] = \frac{1}{2} [\cos 60^\circ + \cos 20^\circ]$$
Vì $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, thay vào biểu thức $P$ ta được:
$$P = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} + \cos 20^\circ\right) \cos 80^\circ = \frac{1}{4}\cos 80^\circ + \frac{1}{2}\cos 80^\circ \cos 20^\circ$$
Tiếp tục áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho tích $\cos 80^\circ \cos 20^\circ$:
$$\cos 80^\circ \cos 20^\circ = \frac{1}{2}[\cos(80^\circ + 20^\circ) + \cos(80^\circ – 20^\circ)] = \frac{1}{2}[\cos 100^\circ + \cos 60^\circ] = \frac{1}{2}\left(\cos 100^\circ + \frac{1}{2}\right)$$
Thay lại vào $P$:
$$P = \frac{1}{4}\cos 80^\circ + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\left(\cos 100^\circ + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}\cos 80^\circ + \frac{1}{4}\cos 100^\circ + \frac{1}{8}$$
Do hai góc $80^\circ$ và $100^\circ$ bù nhau ($80^\circ + 100^\circ = 180^\circ$), ta có $\cos 100^\circ = -\cos 80^\circ$. Do đó:
$$P = \frac{1}{4}\cos 80^\circ – \frac{1}{4}\cos 80^\circ + \frac{1}{8} = \frac{1}{8}$$
Cách 2: Nhân thêm thừa số $\sin 20^\circ$ và dùng công thức góc nhân đôi
Vì $\sin 20^\circ \neq 0$, nhân cả hai vế của biểu thức với $8\sin 20^\circ$:
$$8\sin 20^\circ \cdot P = 4 (2\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ = 4 \sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$$
$$= 2 (2\sin 40^\circ \cos 40^\circ) \cos 80^\circ = 2 \sin 80^\circ \cos 80^\circ = \sin 160^\circ$$
Vì $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ – 20^\circ) = \sin 20^\circ$, suy ra:
$$8\sin 20^\circ \cdot P = \sin 20^\circ \implies P = \frac{1}{8}$$
👉 Kết luận: Giá trị của biểu thức là $P = \frac{1}{8}$.
✍️ 5 Bài tập tương tự tự luyện (Có lời giải chi tiết)
Bài tập 1: Tính giá trị của biểu thức $A = \sin 10^\circ \sin 50^\circ \sin 70^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 1
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng:
$$A = (\sin 50^\circ \sin 10^\circ)\sin 70^\circ = \frac{1}{2}[\cos 40^\circ – \cos 60^\circ]\sin 70^\circ = \frac{1}{2}\left(\cos 40^\circ – \frac{1}{2}\right)\sin 70^\circ$$
$$= \frac{1}{2}\sin 70^\circ \cos 40^\circ – \frac{1}{4}\sin 70^\circ = \frac{1}{4}[\sin 110^\circ + \sin 30^\circ] – \frac{1}{4}\sin 70^\circ$$
Vì $\sin 110^\circ = \sin 70^\circ$ và $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ nên $A = \frac{1}{4}\left(\sin 70^\circ + \frac{1}{2}\right) – \frac{1}{4}\sin 70^\circ = \frac{1}{8}$.
Đáp số: $A = \frac{1}{8}$.
Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức $B = \cos 10^\circ \cos 50^\circ \cos 70^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 2
$$B = (\cos 50^\circ \cos 10^\circ)\cos 70^\circ = \frac{1}{2}[\cos 60^\circ + \cos 40^\circ]\cos 70^\circ = \frac{1}{4}\cos 70^\circ + \frac{1}{2}\cos 40^\circ \cos 70^\circ$$
$$= \frac{1}{4}\cos 70^\circ + \frac{1}{4}[\cos 110^\circ + \cos 30^\circ] = \frac{1}{4}\cos 70^\circ – \frac{1}{4}\cos 70^\circ + \frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{8}$$
Đáp số: $B = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức $C = \tan 20^\circ \tan 40^\circ \tan 80^\circ$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 3
Ta có $C = \frac{\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ}{\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ}$.
Theo công thức lượng giác, tử số $\sin 20^\circ \sin 40^\circ \sin 80^\circ = \frac{\sqrt{3}}{8}$ và mẫu số $\cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$.
Do đó $C = \frac{\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{1}{8}} = \sqrt{3}$.
Đáp số: $C = \sqrt{3}$.
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức $D = \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{5\pi}{9} \cos \frac{7\pi}{9}$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 4
Đổi sang độ: $\frac{\pi}{9} = 20^\circ$, $\frac{5\pi}{9} = 100^\circ$, $\frac{7\pi}{9} = 140^\circ$.
Ta có: $\cos 100^\circ = -\cos 80^\circ$ và $\cos 140^\circ = -\cos 40^\circ$.
Do đó $D = \cos 20^\circ (-\cos 80^\circ) (-\cos 40^\circ) = \cos 20^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \frac{1}{8}$.
Đáp số: $D = \frac{1}{8}$.
Bài tập 5: Sử dụng công thức tích thành tổng để rút gọn biểu thức lượng giác $E = 4\cos x \cos(60^\circ – x) \cos(60^\circ + x)$.
💡 Xem đáp án & Lời giải Bài tập 5
Biến đổi tích $\cos(60^\circ – x) \cos(60^\circ + x)$ thành tổng:
$$\cos(60^\circ – x) \cos(60^\circ + x) = \frac{1}{2}[\cos 120^\circ + \cos 2x] = \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + \cos 2x\right)$$
Nhân với $4\cos x$:
$$E = 4\cos x \cdot \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2} + \cos 2x\right) = -\cos x + 2\cos 2x \cos x = -\cos x + (\cos 3x + \cos x) = \cos 3x$$
Đáp số: $E = \cos 3x$.
Để lại phản hồi