Tính xác suất lấy được sản phẩm phế phẩm từ ba máy sản xuất (Công thức toàn phần)

1. Đề bài

Một nhà máy có ba phân xưởng A, B và C cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng A sản xuất 30% tổng số sản phẩm, phân xưởng B sản xuất 45%, và phân xưởng C sản xuất 25%. Tỷ lệ phế phẩm của các phân xưởng lần lượt là 2%, 3% và 1%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy. Tính xác suất để sản phẩm được chọn là phế phẩm.

2. Dạng toán

Tính xác suất của một biến cố dựa vào công thức xác suất toàn phần (Chương trình Toán 12).

3. Phương pháp giải

Giả sử hệ biến cố $A_1, A_2, \dots, A_n$ là một hệ đầy đủ các biến cố và $B$ là một biến cố bất kỳ cùng không gian mẫu. Khi đó, xác suất của biến cố $B$ được tính theo công thức xác suất toàn phần: $$P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)$$ Bước 1: Gọi các biến cố $A_i$ tạo thành hệ đầy đủ (thường là các trường hợp có thể xảy ra ở giai đoạn đầu). Bước 2: Gọi $B$ là biến cố chính cần tính xác suất. Bước 3: Tính các xác suất thành phần và áp dụng công thức.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố “Sản phẩm được chọn do phân xưởng A sản xuất”.
Gọi $A_2$ là biến cố “Sản phẩm được chọn do phân xưởng B sản xuất”.
Gọi $A_3$ là biến cố “Sản phẩm được chọn do phân xưởng C sản xuất”.
Nhận thấy hệ biến cố $A_1, A_2, A_3$ là một hệ đầy đủ. Theo giả thiết, ta có: $P(A_1) = 30\% = 0,3$; $P(A_2) = 45\% = 0,45$; $P(A_3) = 25\% = 0,25$.
Gọi $B$ là biến cố “Sản phẩm được chọn là phế phẩm”.
Xác suất để sản phẩm là phế phẩm với điều kiện nó do phân xưởng A, B, C sản xuất lần lượt là: $P(B|A_1) = 2\% = 0,02$; $P(B|A_2) = 3\% = 0,03$; $P(B|A_3) = 1\% = 0,01$.
Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có: $$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$$ $$P(B) = 0,3 \cdot 0,02 + 0,45 \cdot 0,03 + 0,25 \cdot 0,01$$ $$P(B) = 0,006 + 0,0135 + 0,0025 = 0,022$$ Vậy xác suất để sản phẩm được chọn là phế phẩm là $0,022$ (hay $2,2\%$).

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Có hai hộp bi. Hộp 1 có 3 bi trắng và 2 bi đen. Hộp 2 có 4 bi trắng và 1 bi đen. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Tính xác suất lấy được bi trắng.

Câu 2: Một bài thi trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Một sinh viên biết câu trả lời đúng với xác suất 70%. Nếu không biết, sinh viên đó chọn ngẫu nhiên một phương án. Tính xác suất sinh viên đó trả lời đúng câu hỏi.

Câu 3: Tại một trạm y tế, tỷ lệ người đến khám bị mắc bệnh viêm phổi là 5%. Test chẩn đoán viêm phổi cho kết quả dương tính với tỷ lệ 95% đối với người thực sự mắc bệnh và dương tính giả 10% đối với người không mắc bệnh. Chọn ngẫu nhiên một người đến khám. Tính xác suất người này có kết quả test dương tính.

Câu 4: Trong một trường THPT, nam sinh chiếm 40% và nữ sinh chiếm 60%. Tỷ lệ học sinh giỏi của nam là 15% và của nữ là 20%. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất học sinh đó là học sinh giỏi.

Câu 5: Một cửa hàng nhập bóng đèn từ 3 cơ sở sản xuất M, N, P với tỷ lệ tương ứng là 50%, 30%, 20%. Tỷ lệ bóng hỏng của các cơ sở lần lượt là 1%, 2%, 3%. Mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn tại cửa hàng. Tính xác suất bóng đèn đó bị hỏng.