Dạng toán: Xác suất sử dụng công thức Bayes – Toán 12
Đề bài: Một bệnh viện có 3 phòng xét nghiệm: Phòng 1 chiếm 30%, Phòng 2 chiếm 50% và Phòng 3 chiếm 20% tổng số mẫu. Tỉ lệ sai sót của từng phòng lần lượt là 1%, 2% và 0,5%. Chọn ngẫu nhiên một mẫu và biết rằng mẫu đó bị xét nghiệm sai. Tính xác suất để mẫu đó do Phòng 1 thực hiện.
Phương pháp giải
Để giải bài toán này, ta sử dụng Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes.
- Gọi $A_1, A_2, …, A_n$ là một hệ đầy đủ các biến cố. Khi đó, với một biến cố $B$ bất kỳ, ta có công thức xác suất toàn phần: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)$.
- Công thức Bayes: $P(A_i|B) = \frac{P(A_i) \cdot P(B|A_i)}{P(B)}$.
Lời giải chi tiết
Gọi $A_1, A_2, A_3$ lần lượt là các biến cố: “Mẫu xét nghiệm do Phòng 1, Phòng 2, Phòng 3 thực hiện”.
Rõ ràng $A_1, A_2, A_3$ lập thành một hệ biến cố đầy đủ.
Theo giả thiết, ta có xác suất tiên nghiệm của các biến cố này là:
- $P(A_1) = 30\% = 0,3$
- $P(A_2) = 50\% = 0,5$
- $P(A_3) = 20\% = 0,2$
Gọi $B$ là biến cố: “Mẫu xét nghiệm bị sai sót”.
Theo giả thiết, tỉ lệ sai sót của các phòng tương ứng là xác suất có điều kiện:
- $P(B|A_1) = 1\% = 0,01$
- $P(B|A_2) = 2\% = 0,02$
- $P(B|A_3) = 0,5\% = 0,005$
Xác suất toàn phần để một mẫu xét nghiệm bị sai là:
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3)$$
$$P(B) = 0,3 \cdot 0,01 + 0,5 \cdot 0,02 + 0,2 \cdot 0,005 = 0,003 + 0,01 + 0,001 = 0,014$$
Bài toán yêu cầu tính xác suất để mẫu đó do Phòng 1 thực hiện, với điều kiện nó bị sai sót. Áp dụng công thức Bayes, ta có:
$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \cdot P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0,003}{0,014} = \frac{3}{14} \approx 0,2143$$
Kết luận: Xác suất để mẫu xét nghiệm bị sai đó do Phòng 1 thực hiện là $\frac{3}{14}$ (khoảng $21,43\%$).
Bài tập tự luyện
Bài 1: Một sinh viên đăng ký học 2 môn. Xác suất qua môn thứ nhất là $0,8$. Nếu qua môn thứ nhất, xác suất qua môn thứ hai là $0,9$; nếu trượt môn thứ nhất thì xác suất qua môn thứ hai chỉ còn $0,4$. Biết sinh viên đó đã qua môn thứ hai, tính xác suất để sinh viên đó qua môn thứ nhất.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A$ là biến cố qua môn 1, $B$ là biến cố qua môn 2.
$P(A)=0,8 \Rightarrow P(\overline{A})=0,2$. $P(B|A)=0,9; P(B|\overline{A})=0,4$.
$P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A}) = 0,8 \cdot 0,9 + 0,2 \cdot 0,4 = 0,72 + 0,08 = 0,8$.
$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0,72}{0,8} = 0,9$.
Bài 2: Trong một kho hàng có 3 lô sản phẩm. Lô I có 10 sản phẩm (2 phế phẩm), Lô II có 15 sản phẩm (3 phế phẩm), Lô III có 20 sản phẩm (5 phế phẩm). Chọn ngẫu nhiên một lô, rồi từ lô đó chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết sản phẩm lấy ra là phế phẩm. Tính xác suất để nó thuộc Lô II.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2, A_3$ là chọn được Lô I, II, III. $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=1/3$.
$B$ là lấy được phế phẩm. $P(B|A_1)=2/10=1/5; P(B|A_2)=3/15=1/5; P(B|A_3)=5/20=1/4$.
$P(B) = \frac{1}{3}(1/5 + 1/5 + 1/4) = \frac{13}{60}$.
$P(A_2|B) = \frac{(1/3) \cdot (1/5)}{13/60} = \frac{1/15}{13/60} = \frac{4}{13}$.
Bài 3: Một hộp chứa 3 đồng xu: 2 đồng xu cân đối đồng chất (xác suất ngửa là 0,5) và 1 đồng xu giả có hai mặt ngửa. Lấy ngẫu nhiên một đồng xu và tung. Nếu mặt ngửa xuất hiện, tính xác suất để đồng xu được tung là đồng xu giả.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$ là lấy được đồng xu thật ($P(A_1)=2/3$), $A_2$ là đồng xu giả ($P(A_2)=1/3$).
$B$ là ra mặt ngửa. $P(B|A_1)=1/2; P(B|A_2)=1$.
$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = (2/3)\cdot(1/2) + (1/3)\cdot 1 = 2/3$.
$P(A_2|B) = \frac{(1/3)\cdot 1}{2/3} = \frac{1}{2}$.
Bài 4: Trong một bài thi trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Một học sinh biết câu trả lời với xác suất là $p=0,6$. Nếu không biết, học sinh đoán mò (chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án). Biết học sinh trả lời đúng câu hỏi đó, tính xác suất để học sinh đó thực sự biết đáp án.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$ là học sinh biết ($P(A_1)=0,6$), $A_2$ là không biết ($P(A_2)=0,4$).
$B$ là trả lời đúng. $P(B|A_1)=1; P(B|A_2)=1/4=0,25$.
$P(B) = 0,6 \cdot 1 + 0,4 \cdot 0,25 = 0,6 + 0,1 = 0,7$.
$P(A_1|B) = \frac{0,6 \cdot 1}{0,7} = \frac{6}{7}$.
Bài 5: Một công ty có 2 chi nhánh X và Y sản xuất cùng một loại linh kiện. Chi nhánh X cung cấp 70% linh kiện, Y cung cấp 30%. Tỷ lệ phế phẩm của X là 5%, của Y là 8%. Một khách hàng mua linh kiện của công ty và thấy nó là phế phẩm. Tính xác suất để linh kiện đó do chi nhánh Y sản xuất.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2$ là linh kiện do X, Y sản xuất. $P(A_1)=0,7; P(A_2)=0,3$.
$B$ là phế phẩm. $P(B|A_1)=0,05; P(B|A_2)=0,08$.
$P(B) = 0,7 \cdot 0,05 + 0,3 \cdot 0,08 = 0,035 + 0,024 = 0,059$.
$P(A_2|B) = \frac{0,3 \cdot 0,08}{0,059} = \frac{0,024}{0,059} = \frac{24}{59}$.
Để lại phản hồi