1. Dạng Toán: Tính xác suất hậu nghiệm bằng công thức Bayes
Bài toán trên thuộc chủ đề xác suất trong chương trình Toán 12, cụ thể là ứng dụng của Công thức xác suất đầy đủ và Công thức Bayes để đánh giá lại xác suất của một nguyên nhân (hoặc giả thiết) khi đã biết một kết quả (biến cố) đã xảy ra.
2. Phương Pháp Giải
Để giải các bài toán sử dụng công thức Bayes, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Gọi $A_1, A_2, …, A_n$ là một hệ biến cố đầy đủ (các trường hợp có thể xảy ra, xung khắc từng đôi một và tổng xác suất bằng 1).
- Bước 2: Gọi $B$ là biến cố quan tâm (kết quả đã xảy ra theo đề bài).
- Bước 3: Xác định các xác suất tiên nghiệm $P(A_i)$ và xác suất có điều kiện $P(B|A_i)$ dựa vào giả thiết.
- Bước 4: Áp dụng công thức xác suất đầy đủ để tính xác suất của biến cố $B$:
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)$$ - Bước 5: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất hậu nghiệm cần tìm (xác suất của nguyên nhân $A_k$ khi đã biết $B$ xảy ra):
$$P(A_k|B) = \frac{P(A_k)P(B|A_k)}{P(B)}$$
3. Lời Giải Chi Tiết Bài Toán Chính
Đề bài: Một hệ thống lọc email nhận thấy rằng $40\%$ số email nhận được là thư rác (spam). Trong số các thư rác, $80\%$ có chứa từ “khuyến mãi”. Trong số các email bình thường, chỉ có $5\%$ có chứa từ “khuyến mãi”. Giả sử có một email mới đến và chứa từ “khuyến mãi”. Tính xác suất để email đó thực sự là thư rác.
Bài giải:
Gọi $A_1$ là biến cố “Email nhận được là thư rác”. Khi đó $P(A_1) = 0,4$.
Gọi $A_2$ là biến cố “Email nhận được là thư bình thường”. Ta có $A_1, A_2$ là một hệ đầy đủ các biến cố và $P(A_2) = 1 – P(A_1) = 0,6$.
Gọi $B$ là biến cố “Email nhận được có chứa từ ‘khuyến mãi'”. Theo đề bài, ta có các xác suất có điều kiện:
- Xác suất chứa từ “khuyến mãi” nếu là thư rác: $P(B|A_1) = 0,8$.
- Xác suất chứa từ “khuyến mãi” nếu là thư bình thường: $P(B|A_2) = 0,05$.
Theo công thức xác suất đầy đủ, xác suất để một email bất kỳ chứa từ “khuyến mãi” là:
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)$$
$$P(B) = 0,4 \times 0,8 + 0,6 \times 0,05 = 0,32 + 0,03 = 0,35$$
Đề bài yêu cầu tính xác suất để email đó là thư rác biết rằng nó chứa từ “khuyến mãi”, tức là tính $P(A_1|B)$. Áp dụng công thức Bayes:
$$P(A_1|B) = \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0,32}{0,35} = \frac{32}{35} \approx 0,9143$$
Kết luận: Xác suất để email đó thực sự là thư rác là khoảng $91,43\%$.
4. Bài Tập Tương Tự Để Tự Luyện
Bài 1: Theo thống kê tại một thành phố, xác suất trời mưa vào một ngày mùa hè là $30\%$. Nếu trời mưa, xác suất xảy ra tắc đường là $60\%$. Nếu trời không mưa, xác suất tắc đường chỉ là $10\%$. Một người quan sát thấy đường đang bị tắc. Tính xác suất để hôm đó trời mưa.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$ là biến cố “Trời mưa”, $P(A_1) = 0,3 \Rightarrow P(A_2) = P(\text{Không mưa}) = 0,7$.
Gọi $B$ là biến cố “Tắc đường”. Ta có $P(B|A_1) = 0,6$ và $P(B|A_2) = 0,1$.
Xác suất tắc đường: $P(B) = 0,3 \times 0,6 + 0,7 \times 0,1 = 0,18 + 0,07 = 0,25$.
Xác suất trời mưa khi biết có tắc đường: $P(A_1|B) = \frac{0,18}{0,25} = 0,72$ ($72\%$).
Bài 2: Tỉ lệ mắc một bệnh hiểm nghèo trong cộng đồng là $1\%$. Một xét nghiệm y tế có độ chính xác như sau: Nếu người mắc bệnh, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất $95\%$. Nếu người không mắc bệnh, xét nghiệm vẫn cho kết quả dương tính (dương tính giả) với xác suất $2\%. Lấy ngẫu nhiên một người đi xét nghiệm và nhận kết quả dương tính. Hỏi xác suất người này thực sự mắc bệnh là bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$: “Người mắc bệnh” ($P(A_1) = 0,01$), $A_2$: “Người không mắc bệnh” ($P(A_2) = 0,99$).
Gọi $B$: “Kết quả dương tính”. $P(B|A_1) = 0,95$, $P(B|A_2) = 0,02$.
Xác suất xét nghiệm dương tính: $P(B) = 0,01 \times 0,95 + 0,99 \times 0,02 = 0,0095 + 0,0198 = 0,0293$.
Xác suất thực sự mắc bệnh: $P(A_1|B) = \frac{0,0095}{0,0293} = \frac{95}{293} \approx 32,42\%$.
Bài 3: Có hai hộp bi. Hộp 1 chứa 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Hộp 2 chứa 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Một người chọn ngẫu nhiên một hộp (với xác suất bằng nhau) rồi từ đó rút ra 1 viên bi. Kết quả rút được bi đỏ. Tính xác suất viên bi đó được rút ra từ hộp 1.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1, A_2$ là biến cố chọn Hộp 1, Hộp 2. $P(A_1) = P(A_2) = 0,5$.
Gọi $B$ là biến cố “Rút được bi đỏ”. $P(B|A_1) = \frac{3}{10} = 0,3$; $P(B|A_2) = \frac{6}{10} = 0,6$.
$P(B) = 0,5 \times 0,3 + 0,5 \times 0,6 = 0,15 + 0,30 = 0,45$.
Xác suất bi từ Hộp 1: $P(A_1|B) = \frac{0,15}{0,45} = \frac{1}{3}$.
Bài 4: Trước kỳ thi, $80\%$ học sinh trong lớp ôn tập kỹ và $20\%$ học sinh không ôn tập kỹ. Xác suất thi đỗ của một học sinh ôn tập kỹ là $90\%$, trong khi học sinh không ôn kỹ chỉ có $30\%$ cơ hội đỗ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh và biết rằng em này đã thi đỗ. Tính xác suất để em đó đã ôn tập kỹ.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$: “Học sinh ôn kỹ” ($P(A_1) = 0,8$), $A_2$: “Không ôn kỹ” ($P(A_2) = 0,2$).
Gọi $B$: “Học sinh thi đỗ”. $P(B|A_1) = 0,9$, $P(B|A_2) = 0,3$.
$P(B) = 0,8 \times 0,9 + 0,2 \times 0,3 = 0,72 + 0,06 = 0,78$.
Xác suất học sinh đã ôn kỹ: $P(A_1|B) = \frac{0,72}{0,78} = \frac{12}{13} \approx 92,31\%$.
Bài 5: Phân tích dữ liệu bảo hiểm ô tô cho thấy $20\%$ tài xế thuộc nhóm “rủi ro cao” và $80\%$ thuộc nhóm “rủi ro thấp”. Xác suất xảy ra tai nạn và yêu cầu bồi thường trong một năm của nhóm rủi ro cao là $15\%$, của nhóm rủi ro thấp là $5\%$. Một tài xế vừa gửi yêu cầu bồi thường tai nạn. Tính xác suất tài xế này thuộc nhóm rủi ro cao.
Xem đáp án và lời giải
Gọi $A_1$: “Tài xế rủi ro cao” ($P(A_1) = 0,2$), $A_2$: “Tài xế rủi ro thấp” ($P(A_2) = 0,8$).
Gọi $B$: “Có yêu cầu bồi thường”. $P(B|A_1) = 0,15$, $P(B|A_2) = 0,05$.
$P(B) = 0,2 \times 0,15 + 0,8 \times 0,05 = 0,03 + 0,04 = 0,07$.
Xác suất thuộc nhóm rủi ro cao: $P(A_1|B) = \frac{0,03}{0,07} = \frac{3}{7} \approx 42,86\%$.
Để lại phản hồi