Một nhà máy có hai máy A và B sản xuất sản phẩm. Máy A chiếm 60%, máy B chiếm 40% sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của máy A và máy B lần lượt là 2% và 3%. Lấy ngẫu nhiên được 1 phế phẩm, tính xác suất để sản phẩm đó do máy A sản xuất.

Chủ đề: Xác suất sử dụng công thức Bayes – Toán 12

Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về một trong những công cụ mạnh mẽ nhất trong lý thuyết Xác suất của chương trình Toán 12: Công thức Bayes. Dạng toán này thường xuất hiện trong các bài toán thực tế như kiểm tra chất lượng sản phẩm, chẩn đoán y tế, hoặc dự báo thời tiết.

1. Phương pháp giải (Nhắc lại lý thuyết)

Để giải bài toán xác suất bằng công thức Bayes, chúng ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Xác định hệ biến cố đầy đủ $A_1, A_2, …, A_n$. (Hệ biến cố đầy đủ là tập hợp các biến cố xung khắc từng đôi một và tổng của chúng bằng không gian mẫu $\Omega$, tức là $\sum P(A_i) = 1$).
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố quan sát được (biến cố đã xảy ra). Tính xác suất toàn phần của $B$ theo công thức: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)$.
• Bước 3: Tính xác suất hậu nghiệm $P(A_i|B)$ (xác suất để nguyên nhân $A_i$ xảy ra khi đã biết kết quả $B$) bằng Công thức Bayes:
  $P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$

2. Lời giải chi tiết cho bài toán trên

Đề bài: Một nhà máy có hai máy A và B sản xuất sản phẩm. Máy A chiếm 60%, máy B chiếm 40% sản lượng. Tỷ lệ phế phẩm của máy A và máy B lần lượt là 2% và 3%. Lấy ngẫu nhiên được 1 phế phẩm, tính xác suất để sản phẩm đó do máy A sản xuất.

Giải:

Gọi $A_1$ là biến cố “Sản phẩm lấy ra do máy A sản xuất”. Suy ra $P(A_1) = 0.6$.

Gọi $A_2$ là biến cố “Sản phẩm lấy ra do máy B sản xuất”. Suy ra $P(A_2) = 0.4$.

Hai biến cố $A_1, A_2$ tạo thành một hệ đầy đủ.

Gọi $F$ là biến cố “Sản phẩm lấy ra là phế phẩm”. Theo giả thiết, ta có xác suất có điều kiện:

• Xác suất phế phẩm của máy A: $P(F|A_1) = 0.02$
• Xác suất phế phẩm của máy B: $P(F|A_2) = 0.03$

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất để lấy được phế phẩm là:

$P(F) = P(A_1)P(F|A_1) + P(A_2)P(F|A_2) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.03 = 0.012 + 0.012 = 0.024$

Áp dụng công thức Bayes, xác suất để sản phẩm phế phẩm đó do máy A sản xuất là:

$P(A_1|F) = \frac{P(A_1)P(F|A_1)}{P(F)} = \frac{0.012}{0.024} = 0.5$ (hay 50%).

Kết luận: Xác suất phế phẩm đó do máy A sản xuất là $0.5$.

---

3. Bài tập tương tự tự luyện

Bài 1 (Y tế): Tỷ lệ người mắc bệnh $X$ trong dân số là 1%. Một xét nghiệm phát hiện bệnh $X$ có độ chính xác như sau: Nếu có bệnh, xét nghiệm cho kết quả dương tính với xác suất 95%. Nếu không có bệnh, xét nghiệm vẫn cho kết quả dương tính (dương tính giả) với xác suất 5%. Một người đi xét nghiệm và có kết quả dương tính. Tính xác suất người này thực sự mắc bệnh.

Bài 2 (Giao thông): Dự báo thời tiết cho biết xác suất trời mưa vào ngày mai là 30%. Nếu trời mưa, xác suất xảy ra tắc đường là 80%. Nếu trời không mưa, xác suất tắc đường chỉ là 20%. Giả sử ngày mai có tắc đường, tính xác suất trời đã mưa.

Bài 3 (Rút thăm): Có 2 hộp bi. Hộp I chứa 3 bi trắng và 2 bi đen. Hộp II chứa 4 bi trắng và 1 bi đen. Chọn ngẫu nhiên 1 hộp (xác suất 2 hộp như nhau), rồi từ đó rút ngẫu nhiên 1 viên bi thì được bi trắng. Tính xác suất viên bi đó được rút ra từ Hộp I.

Bài 4 (Giáo dục): Một khối lớp có 3 lớp A, B, C với số học sinh tương ứng chiếm 30%, 30% và 40% tổng số học sinh của khối. Tỷ lệ học sinh giỏi của lớp A, B, C lần lượt là 10%, 15% và 20%. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh trong khối thì thấy đó là học sinh giỏi. Tính xác suất học sinh đó thuộc lớp C.

Bài 5 (Bảo mật): Một hệ thống email nhận thấy 40% số thư nhận được là thư rác (spam). Trong các thư rác, 80% chứa từ “miễn phí”. Trong các thư bình thường, chỉ có 5% chứa từ “miễn phí”. Một email mới đến có chứa từ “miễn phí”. Tính xác suất đó là thư rác.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn giải chi tiết:

Bài 1: Gọi $D$ là mắc bệnh, $P(D)=0.01$, $P(\overline{D})=0.99$. $T$ là dương tính. $P(T|D)=0.95$, $P(T|\overline{D})=0.05$.
$P(T) = 0.01 \times 0.95 + 0.99 \times 0.05 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059$.
$P(D|T) = \frac{0.0095}{0.059} \approx 0.161$ (16.1%).

Bài 2: Gọi $R$ là mưa ($P(R)=0.3$), $\overline{R}$ là không mưa ($P(\overline{R})=0.7$). $J$ là tắc đường.
$P(J) = 0.3 \times 0.8 + 0.7 \times 0.2 = 0.24 + 0.14 = 0.38$.
$P(R|J) = \frac{0.24}{0.38} = \frac{12}{19} \approx 0.6316$.

Bài 3: $P(H_1) = P(H_2) = 0.5$. Xác suất rút bi trắng $W$:
$P(W) = 0.5 \times \frac{3}{5} + 0.5 \times \frac{4}{5} = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
$P(H_1|W) = \frac{0.3}{0.7} = \frac{3}{7}$.

Bài 4: Gọi $G$ là học sinh giỏi. $P(G) = 0.3 \times 0.1 + 0.3 \times 0.15 + 0.4 \times 0.2 = 0.03 + 0.045 + 0.08 = 0.155$.
$P(C|G) = \frac{0.08}{0.155} = \frac{16}{31} \approx 0.5161$.

Bài 5: Gọi $S$ là thư rác ($P(S)=0.4$), $N$ là thư thường ($P(N)=0.6$). $F$ là có chữ “miễn phí”.
$P(F) = 0.4 \times 0.8 + 0.6 \times 0.05 = 0.32 + 0.03 = 0.35$.
$P(S|F) = \frac{0.32}{0.35} = \frac{32}{35} \approx 0.9143$.