Tính xác suất lấy được sản phẩm đạt tiêu chuẩn từ hai phân xưởng bằng công thức toàn phần

1. Đề bài

Một nhà máy có hai phân xưởng cùng sản xuất một loại sản phẩm. Phân xưởng I sản xuất $60\%$ tổng sản lượng, phân xưởng II sản xuất $40\%$ tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng I là $2\%$, của phân xưởng II là $3\%$. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy để kiểm tra. Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm đạt tiêu chuẩn (không phải phế phẩm).

2. Dạng toán

Tính xác suất của một biến cố thông qua một hệ biến cố đầy đủ (Sử dụng công thức xác suất toàn phần).

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Thiết lập một hệ biến cố đầy đủ $\{A_1, A_2, …, A_n\}$ liên quan đến phép thử và tính các xác suất $P(A_i)$.
• Bước 2: Biểu diễn biến cố $B$ cần tính xác suất theo các biến cố $A_i$ và tính các xác suất điều kiện $P(B|A_i)$.
• Bước 3: Áp dụng công thức xác suất toàn phần: $P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + … + P(A_n)P(B|A_n)$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A_1$ là biến cố: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng I sản xuất”. Theo giả thiết, ta có: $P(A_1) = 60\% = 0,6$.

Gọi $A_2$ là biến cố: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng II sản xuất”. Ta có: $P(A_2) = 40\% = 0,4$.

Rõ ràng tập hợp $\{A_1, A_2\}$ là một hệ biến cố đầy đủ.

Gọi $B$ là biến cố: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm đạt tiêu chuẩn”.

Theo giả thiết, tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng I là $2\%$ nên tỉ lệ đạt tiêu chuẩn của phân xưởng I là $100\% – 2\% = 98\%$. Suy ra xác suất điều kiện để sản phẩm đạt tiêu chuẩn biết rằng nó do phân xưởng I sản xuất là: $P(B|A_1) = 0,98$.

Tương tự, tỉ lệ phế phẩm của phân xưởng II là $3\%$ nên tỉ lệ đạt tiêu chuẩn của phân xưởng II là $100\% – 3\% = 97\%$. Xác suất điều kiện: $P(B|A_2) = 0,97$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)$$

$$P(B) = 0,6 \times 0,98 + 0,4 \times 0,97 = 0,588 + 0,388 = 0,976$$

Vậy xác suất để chọn được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là $0,976$ (tức $97,6\%$).

5. Bài tập tự luyện

• Câu 1: Có hai hộp bi. Hộp 1 có 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Hộp 2 có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 viên bi. Tính xác suất để lấy được viên bi màu đỏ.
• Câu 2: Trong một đợt khám sức khỏe, tỉ lệ người mắc bệnh A là $5\%$. Xét nghiệm có độ chính xác $90\%$ với người có bệnh (dương tính thật) và $95\%$ với người không bệnh (âm tính thật). Chọn ngẫu nhiên một người xét nghiệm, tính xác suất người đó có kết quả dương tính.
• Câu 3: Một kho chứa hàng nhập từ 3 nhà cung cấp: C1 ($30\%$), C2 ($50\%$), C3 ($20\%$). Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi của mỗi nhà cung cấp lần lượt là $1\%, 2\%, 3\%$. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho. Tính xác suất để sản phẩm đó bị lỗi.
• Câu 4: Có 3 hộp phấn. Hộp I có 10 viên trắng, 5 viên màu; Hộp II có 8 viên trắng, 7 viên màu. Lấy ngẫu nhiên 1 viên phấn từ hộp I bỏ vào hộp II, sau đó trộn đều và lấy ngẫu nhiên 1 viên từ hộp II. Tính xác suất lấy được viên phấn trắng từ hộp II.
• Câu 5: Tỉ lệ sinh viên nam và nữ của một trường đại học lần lượt là $40\%$ và $60\%$. Biết rằng tỉ lệ cận thị ở sinh viên nam là $15\%$, ở sinh viên nữ là $20\%$. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của trường. Tính xác suất để sinh viên đó bị cận thị.

Xem đáp án và lời giải

Câu 1: Gọi $H_i$ là biến cố chọn được hộp $i$ ($i=1, 2$), ta có $P(H_1)=P(H_2)=0,5$. Gọi $D$ là biến cố lấy được bi đỏ. Áp dụng CTXSTP: $P(D) = 0,5 \times \frac{3}{10} + 0,5 \times \frac{4}{10} = 0,35$.

Câu 2: Gọi $B$ là biến cố người đó mắc bệnh, $P(B)=0,05 \Rightarrow P(\overline{B})=0,95$. Gọi $D$ là biến cố xét nghiệm dương tính. Xác suất dương tính giả (không bệnh nhưng XN dương) là $100\% – 95\% = 5\%$. Vậy $P(D) = P(B)P(D|B) + P(\overline{B})P(D|\overline{B}) = 0,05 \times 0,90 + 0,95 \times 0,05 = 0,045 + 0,0475 = 0,0925$.

Câu 3: Gọi $L$ là biến cố sản phẩm bị lỗi. $P(L) = 0,3 \times 0,01 + 0,5 \times 0,02 + 0,2 \times 0,03 = 0,003 + 0,010 + 0,006 = 0,019$.

Câu 4: Gọi $T_1$ là BC lấy phấn trắng từ hộp I bỏ sang II ($P(T_1)=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$); $M_1$ là BC lấy phấn màu từ I bỏ sang II ($P(M_1)=\frac{1}{3}$). Gọi $T_2$ là BC lấy viên thứ hai là phấn trắng. CTXSTP: $P(T_2) = P(T_1)P(T_2|T_1) + P(M_1)P(T_2|M_1) = \frac{2}{3} \times \frac{9}{16} + \frac{1}{3} \times \frac{8}{16} = \frac{18}{48} + \frac{8}{48} = \frac{26}{48} = \frac{13}{24}$.

Câu 5: Gọi $C$ là biến cố sinh viên bị cận thị. Áp dụng CTXSTP với hệ đầy đủ là biến cố chọn được Nam/Nữ: $P(C) = 0,4 \times 0,15 + 0,6 \times 0,20 = 0,06 + 0,12 = 0,18$.