Chinh Phục Xác Suất Có Điều Kiện Toán 12: Bài Toán Rút Bi Và Công Thức Bayes

1. Đề bài

Có hai hộp chứa bi. Hộp thứ nhất có 4 bi đỏ và 6 bi xanh. Hộp thứ hai có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó từ hộp thứ hai lấy ngẫu nhiên ra một viên bi. Biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, hãy tính xác suất để viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất cũng là bi đỏ.

2. Dạng toán

Bài toán thuộc chuyên đề Xác suất có điều kiện trong chương trình Toán 12. Để giải quyết bài toán này, học sinh cần vận dụng kết hợp công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes (hoặc phân tích dựa trên định nghĩa xác suất có điều kiện).

3. Phương pháp giải

• Bước 1: Gọi $A$ là biến cố viên bi lấy từ hộp thứ nhất là bi đỏ, $\overline{A}$ là biến cố viên bi lấy từ hộp thứ nhất là bi xanh. Tính $P(A)$ và $P(\overline{A})$.
• Bước 2: Gọi $B$ là biến cố viên bi lấy từ hộp thứ hai (sau khi đã nhận thêm 1 viên bi từ hộp thứ nhất) là bi đỏ.
• Bước 3: Tính các xác suất có điều kiện $P(B|A)$ và $P(B|\overline{A})$ dựa vào số lượng bi lúc sau ở hộp thứ hai.
• Bước 4: Áp dụng công thức xác suất toàn phần để tìm $P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A})$.
• Bước 5: Áp dụng công thức Bayes để tính xác suất có điều kiện cần tìm: $P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$.

4. Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ nhất”. Ta có: $P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Suy ra xác suất lấy được bi xanh từ hộp thứ nhất là $P(\overline{A}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Gọi $B$ là biến cố: “Lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ hai”. Ta sẽ xét hai trường hợp để tính $P(B)$:

• Trường hợp 1 (Biến cố $A$ xảy ra): Viên bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là bi đỏ. Lúc này, hộp 2 có $5 + 1 = 6$ bi đỏ và $3$ bi xanh (tổng cộng 9 viên). Xác suất lấy được bi đỏ từ hộp 2 trong trường hợp này là $P(B|A) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
• Trường hợp 2 (Biến cố $\overline{A}$ xảy ra): Viên bi bỏ từ hộp 1 sang hộp 2 là bi xanh. Lúc này, hộp 2 có $5$ bi đỏ và $3 + 1 = 4$ bi xanh (tổng cộng 9 viên). Xác suất lấy được bi đỏ từ hộp 2 trong trường hợp này là $P(B|\overline{A}) = \frac{5}{9}$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có xác suất viên bi lấy ra ở lần hai là bi đỏ là:

$$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{15} + \frac{15}{45} = \frac{12}{45} + \frac{15}{45} = \frac{27}{45} = \frac{3}{5}.$$

Đề bài yêu cầu tính xác suất viên bi lấy ra từ hộp 1 là bi đỏ, biết rằng viên bi lấy từ hộp 2 là bi đỏ. Đây chính là xác suất có điều kiện $P(A|B)$. Áp dụng công thức Bayes, ta tính được:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)} = \frac{\frac{4}{15}}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{15} \cdot \frac{5}{3} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}.$$

Kết luận: Xác suất để viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất là bi đỏ, biết rằng viên bi lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ, là $\frac{4}{9}$.

5. Bài tập tự luyện

• Câu 1: Một nhà máy có ba phân xưởng A, B, C sản xuất tương ứng 30%, 50% và 20% tổng số sản phẩm. Tỉ lệ phế phẩm của mỗi phân xưởng lần lượt là 1%, 2% và 3%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ kho và thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất sản phẩm này do phân xưởng B sản xuất.
• Câu 2: Hộp thứ nhất chứa 3 bi trắng và 2 bi đen. Hộp thứ hai chứa 4 bi trắng và 4 bi đen. Chọn ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất bỏ vào hộp thứ hai, sau đó rút ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai thì được bi trắng. Tính xác suất viên bi chuyển sang là bi đen.
• Câu 3: Một bài thi trắc nghiệm có xác suất sinh viên học bài là 0.8. Nếu học bài, sinh viên làm đúng với xác suất 0.9. Nếu không học bài, sinh viên chọn đáp án ngẫu nhiên và đúng với xác suất 0.25. Biết sinh viên làm đúng câu đó, tính xác suất sinh viên đã học bài.
• Câu 4: Bệnh X có tỉ lệ người mắc trong cộng đồng là 1%. Một xét nghiệm phát hiện bệnh có độ chính xác như sau: dương tính 90% nếu thực sự có bệnh, dương tính giả 5% nếu không có bệnh. Một người làm xét nghiệm cho kết quả dương tính, xác suất người đó thực sự mắc bệnh là bao nhiêu?
• Câu 5: Trong túi có 2 đồng xu: 1 đồng chất và 1 đồng không đồng chất (hai mặt đều là sấp). Chọn ngẫu nhiên 1 đồng xu và tung lên 1 lần thấy ra mặt sấp. Tính xác suất đồng xu được chọn là đồng xu không đồng chất.