Bài toán gốc
Biết $F(x)=\int{\left(x^4-x-4 \right)\text{d}x}$ và $F(2)=5$. Tìm $F(x)$
A. $\dfrac{1}{5}x^5-\dfrac{1}{2}x^2-4x+\dfrac{43}{5}$
B. $5x^5-2x^2-4x-\dfrac{36}{5}$
C. $\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{1}{2}x^2-4x-\dfrac{18}{5}$
D. $4x+\dfrac{31}{5}$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm xác định $F(x)$ của một hàm số $f(x)$ cho trước, thỏa mãn một điều kiện ban đầu (điểm mà đồ thị nguyên hàm đi qua). Phương pháp giải bao gồm hai bước chính: 1. Tính nguyên hàm tổng quát $F(x) = {i}nt f(x) dx + C$. 2. Sử dụng điều kiện ban đầu $F(x_0)=y_0$ để tìm hằng số tích phân $C$. Cuối cùng, thay $C$ vào biểu thức $F(x)$. Bài toán gốc sử dụng quy tắc nguyên hàm cơ bản cho hàm đa thức: $ {i}nt x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Bài toán tương tự
Thiết lập 5 bài toán tương tự dạng tìm nguyên hàm xác định:
(1) Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=2x^2+3x-1$ và $F(1)=2$. Tính $F(x)$.
A. $F(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2-x-\dfrac{5}{6}$
B. $F(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2-x+\dfrac{5}{6}$
C. $F(x)=2x^3+3x^2-x+\dfrac{1}{6}$
D. $F(x)=\dfrac{2}{3}x^3+3x^2-x+\dfrac{1}{6}$
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $F(x)=\int (2x^2+3x-1)dx = \dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{3}{2}x^2-x+C$. Thay $F(1)=2$: $\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{2}-1+C=2 \implies C = \dfrac{5}{6}$.
(2) Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=x^3-3x^2+5$, biết đồ thị hàm số $F(x)$ đi qua điểm $M(0; 4)$.
A. $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-x^3+5x+4$
B. $F(x)=x^4-x^3+5x-4$
C. $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-x^3+5x-4$
D. $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-x^3+5x$
Đáp án đúng: A.
Giải thích: $F(x)=\int (x^3-3x^2+5)dx = \dfrac{1}{4}x^4-x^3+5x+C$. Vì $F(0)=4$, ta suy ra $C=4$.
(3) Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=6x^5+4x^3$. Nếu $F(-1)=0$, tìm $F(x)$.
A. $F(x)=x^6+x^4+2$
B. $F(x)=x^6+x^4-2$
C. $F(x)=x^6+x^4$
D. $F(x)=x^5+x^3+2$
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $F(x)=\int (6x^5+4x^3)dx = x^6+x^4+C$. Thay $x=-1$, $F(-1)=(-1)^6+(-1)^4+C=0 \implies 1+1+C=0 \implies C=-2$.
(4) Cho hàm số $f(x)=3x^2-2x$. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa mãn $F(3)=10$. Tính giá trị $F(1)$.
A. 0
B. -8
C. 1
D. 10
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $F(x)=\int (3x^2-2x)dx = x^3-x^2+C$. Điều kiện $F(3)=10 \implies 3^3-3^2+C=10 \implies 18+C=10 \implies C=-8$. Vậy $F(x)=x^3-x^2-8$. Giá trị cần tìm là $F(1)=1^3-1^2-8 = -8$.
(5) Cho $f(x)=4x^3+2x-5$. Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ thỏa mãn $F(2)=1$.
A. $x^4+x^2-5x+9$
B. $x^4+x^2-5x-9$
C. $x^4+x^2-5x+1$
D. $x^4+x^2-5x+10$
Đáp án đúng: B.
Giải thích: $F(x)=\int (4x^3+2x-5)dx = x^4+x^2-5x+C$. Thay $F(2)=1$: $2^4+2^2-5(2)+C=1 \implies 16+4-10+C=1 \implies 10+C=1 \implies C=-9$.