Bài toán gốc
Tìm $\int{\dfrac{3}{(5x-1)^4}\text{d}x}$
A. $-\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{(5x-1)^3}+C$
B. $-\dfrac{1}{5}\dfrac{1}{(5x-1)^5}+C$
C. $-1\dfrac{1}{(5x-1)^3}+C$
D. $-1\dfrac{1}{(5x-1)^5}+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm nguyên hàm cơ bản của hàm số lũy thừa có dạng $f(x) = k(ax+b)^n$, với $n \ne -1$. Phương pháp giải là áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng: $\int (ax+b)^n \text{d}x = \dfrac{1}{a} \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Trong bài toán gốc, ta có $k=3, a=5, b=-1, n=-4$. Khi đó, $\int \dfrac{3}{(5x-1)^4} \text{d}x = 3 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{(5x-1)^{-4+1}}{-4+1} + C = 3 \cdot \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{(5x-1)^{-3}}{-3} + C = -\dfrac{1}{5}(5x-1)^{-3} + C$.
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự:
**1.** Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = \dfrac{4}{(2x+3)^5}$.
**A.** $\dfrac{1}{2(2x+3)^4} + C$
**B.** $-\dfrac{1}{2(2x+3)^4} + C$
**C.** $-\dfrac{2}{5(2x+3)^6} + C$
**D.** $-\dfrac{1}{4(2x+3)^4} + C$
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $\int 4(2x+3)^{-5} dx = 4 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x+3)^{-4}}{-4} + C = -\dfrac{1}{2}(2x+3)^{-4} + C = -\dfrac{1}{2(2x+3)^4} + C$.
**2.** Tính tích phân $I = \int \dfrac{6}{(3x+2)^3} dx$.
**A.** $\dfrac{1}{(3x+2)^2} + C$
**B.** $-\dfrac{1}{(3x+2)^2} + C$
**C.** $\dfrac{2}{(3x+2)^2} + C$
**D.** $-\dfrac{3}{(3x+2)^2} + C$
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $I = \int 6(3x+2)^{-3} dx = 6 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(3x+2)^{-2}}{-2} + C = -1(3x+2)^{-2} + C = -\dfrac{1}{(3x+2)^2} + C$.
**3.** Cho $I = \int \dfrac{-5}{(4x-3)^2} dx$. Khẳng định nào sau đây đúng?
**A.** $I = \dfrac{5}{4(4x-3)} + C$
**B.** $I = \dfrac{5}{(4x-3)} + C$
**C.** $I = \dfrac{-5}{4(4x-3)} + C$
**D.** $I = \dfrac{4}{5(4x-3)} + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: $I = \int -5(4x-3)^{-2} dx = -5 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{(4x-3)^{-1}}{-1} + C = \dfrac{5}{4} (4x-3)^{-1} + C = \dfrac{5}{4(4x-3)} + C$.
**4.** Tính nguyên hàm $G(x) = \int \dfrac{8}{(1-2x)^5} dx$.
Đáp án: $G(x) = \dfrac{1}{(1-2x)^4} + C$.
Lời giải ngắn gọn: $G(x) = \int 8(1-2x)^{-5} dx$. Áp dụng công thức với $a=-2, n=-5$: $8 \cdot \dfrac{1}{-2} \cdot \dfrac{(1-2x)^{-4}}{-4} + C = 8 \cdot \dfrac{1}{8} (1-2x)^{-4} + C = \dfrac{1}{(1-2x)^4} + C$.
**5.** Tính nguyên hàm $H(x) = \int \dfrac{10}{(2x+7)^6} dx$.
Đáp án: $H(x) = -\dfrac{1}{(2x+7)^5} + C$.
Lời giải ngắn gọn: $H(x) = \int 10(2x+7)^{-6} dx$. Áp dụng công thức với $a=2, n=-6$: $10 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2x+7)^{-5}}{-5} + C = 5 \cdot \left(-\dfrac{1}{5}\right) (2x+7)^{-5} + C = -\dfrac{1}{(2x+7)^5} + C$.