Tìm $\int{\left(3\sin x+10\cos x+x-2 \right)\text{d}x}$

Bài toán gốc

Tìm $\int{\left(3\sin x+10\cos x+x-2 \right)\text{d}x}$

A. $3\cos x-10\sin x+\dfrac{1}{2}x^2-2x+C$

B. $-3\cos x+10\sin x+\dfrac{1}{2}x^2-2x+C$

C. $3\cos x+10\sin x+x^2-2x+C$

D. $-3\cos x-10\sin x+2x^2-2x+C$

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng toán tìm nguyên hàm (tích phân bất định) của một hàm số tổng. Phương pháp giải dựa trên tính chất tuyến tính của nguyên hàm: nguyên hàm của một tổng bằng tổng các nguyên hàm, và sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản cho hàm lượng giác ($\int \sin x dx = -\cos x + C$, $\int \cos x dx = \sin x + C$) và hàm đa thức ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$).

Bài toán tương tự

{“bai_toan_1”: “\n\n**1.** Tìm \int{\left(5\sin x – 4\cos x + 2x + 1 \right)\text{d}x}.\nA. $5\cos x – 4\sin x + x^2 + x + C$\nB. $-5\cos x – 4\sin x + 2x^2 + x + C$\nC. $-5\cos x – 4\sin x + x^2 + x + C$\nD. $5\cos x + 4\sin x + x^2 + 2x + C$\n\n**Đáp án đúng:** C.\n**Giải thích:** \int (5\sin x – 4\cos x + 2x + 1) dx = 5(-\cos x) – 4(\sin x) + 2(\frac{x^2}{2}) + x + C = -5\cos x – 4\sin x + x^2 + x + C.”, “bai_toan_2”: “\n\n**2.** Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = -2\cos x + 6\sin x + 3x^2$.\nA. $2\sin x – 6\cos x + x^3 + C$\nB. $-2\sin x + 6\cos x + 6x + C$\nC. $-2\sin x – 6\cos x + x^3 + C$\nD. $2\sin x – 6\cos x + x^3 + C$\n\n**Đáp án đúng:** C.\n**Giải thích:** \int (-2\cos x + 6\sin x + 3x^2) dx = -2(\sin x) + 6(-\cos x) + 3(\frac{x^3}{3}) + C = -2\sin x – 6\cos x + x^3 + C.”, “bai_toan_3”: “\n\n**3.** Tìm \int{\left(e^x – 7\sin x + 3 \right)\text{d}x}.\nA. $e^x + 7\cos x + 3x + C$\nB. $e^x – 7\cos x + 3x + C$\nC. $xe^x + 7\cos x + 3x + C$\nD. $e^x + 7\cos x + 3 + C$\n\n**Đáp án đúng:** A.\n**Giải thích:** \int (e^x – 7\sin x + 3) dx = \int e^x dx – 7 \int \sin x dx + \int 3 dx = e^x – 7(-\cos x) + 3x + C = e^x + 7\cos x + 3x + C.”, “bai_toan_4”: “\n\n**4.** Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 8\cos x – 2\sin x + 4x^3$.\nA. $8\sin x + 2\cos x + x^4 + C$\nB. $-8\sin x – 2\cos x + x^4 + C$\nC. $8\sin x – 2\cos x + 4x^4 + C$\nD. $8\sin x + 2\cos x + 4x^4 + C$\n\n**Đáp án đúng:** A.\n**Giải thích:** \int (8\cos x – 2\sin x + 4x^3) dx = 8(\sin x) – 2(-\cos x) + 4(\frac{x^4}{4}) + C = 8\sin x + 2\cos x + x^4 + C.”, “bai_toan_5”: “\n\n**5.** Tính nguyên hàm $I = \int{\left(12\sin x – \cos x + 5x^4 – 9 \right)\text{d}x}.\n\n**Đáp án:** $-12\cos x – \sin x + x^5 – 9x + C$.\n**Lời giải ngắn gọn:** \n$I = 12 \int \sin x dx – \int \cos x dx + 5 \int x^4 dx – \int 9 dx$ \n$I = 12(-\cos x) – (\sin x) + 5(\frac{x^5}{5}) – 9x + C$ \n$I = -12\cos x – \sin x + x^5 – 9x + C$.”}