Bài toán gốc
Tìm $\int{\left(-5e^{-x}-3.3^x-1 \right)\text{d}x}$
A. $5e^{-x}-\dfrac{3.3^x}{\ln 3} -x+C$
B. $5e^{-x}-3.3^x -x+C$
C. $-5e^{-x}-\dfrac{3.3^x}{\ln 3} +C$
D. $-5e^{-x}-3.3^x -x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng toán tìm nguyên hàm (tích phân bất định) của tổng và hiệu các hàm số sơ cấp, bao gồm hàm mũ $e^{ax+b}$, hàm mũ cơ số $a$ ($a^x$), và hằng số. Phương pháp giải là áp dụng quy tắc tính nguyên hàm của tổng/hiệu và các công thức nguyên hàm cơ bản: $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$, $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$, và $\int k dx = kx + C$.
Bài toán tương tự
{“bai_toan_1”: “
1. Tìm $\int{\left(2e^{3x} – 5^x + 2 \right)\text{d}x}$
A. $6e^{3x} – \dfrac{5^x}{\ln 5} + 2x + C$
B. $\dfrac{2}{3}e^{3x} – 5^x\ln 5 + 2x + C$
C. $\dfrac{2}{3}e^{3x} – \dfrac{5^x}{\ln 5} + 2x + C$
D. $2e^{3x} – \dfrac{5^x}{\ln 5} + 2x + C$
Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: $\int 2e^{3x} dx = 2 \cdot \frac{1}{3} e^{3x}$. $\int -5^x dx = -\frac{5^x}{\ln 5}$. $\int 2 dx = 2x$. Kết quả: $\dfrac{2}{3}e^{3x} – \dfrac{5^x}{\ln 5} + 2x + C$. “,”bai_toan_2”: “
2. Tìm $\int{\left(6e^{-2x} + \frac{2}{x+1} \right)\text{d}x}$
A. $-3e^{-2x} + 2\ln|x+1| + C$
B. $6e^{-2x} + 2\ln|x+1| + C$
C. $-12e^{-2x} + 2\ln|x+1| + C$
D. $3e^{-2x} + 2\ln|x+1| + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: $\int 6e^{-2x} dx = 6 \cdot \frac{1}{-2} e^{-2x} = -3e^{-2x}$. $\int \frac{2}{x+1} dx = 2\ln|x+1|$. “,”bai_toan_3”: “
3. Tìm $\int{\left(e^{x} – 4x^3 + \frac{1}{2} \right)\text{d}x}$
A. $e^x – x^4 + \frac{1}{2}x + C$
B. $e^x – 12x^2 + \frac{1}{2}x + C$
C. $e^x – x^4 + C$
D. $e^x – 4x^4 + \frac{1}{2}x + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: $\int e^x dx = e^x$. $\int -4x^3 dx = -4 \cdot \frac{x^4}{4} = -x^4$. $\int \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}x$. “,”bai_toan_4”: “
4. Tìm $\int{\left( \frac{1}{e^{2x}} – 3 \cdot 5^x \right)\text{d}x}$
A. $2e^{-2x} – 3 \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + C$
B. $-\frac{1}{2}e^{-2x} – \frac{3 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$
C. $-\frac{1}{2}e^{-2x} – 3 \cdot 5^x \ln 5 + C$
D. $-2e^{-2x} – \frac{3 \cdot 5^x}{\ln 5} + C$
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: Ta có $\frac{1}{e^{2x}} = e^{-2x}$. $\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x}$. $\int -3 \cdot 5^x dx = -3 \cdot \frac{5^x}{\ln 5}$. “,”bai_toan_5”: “
5. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = -8e^{4x} + \frac{1}{2} \cdot 2^x$. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. $F(x) = -2e^{4x} + \frac{2^x}{2\ln 2} + C$
B. $F(x) = -32e^{4x} + \frac{2^x}{\ln 2} + C$
C. $F(x) = -2e^{4x} + \frac{2^{x+1}}{\ln 2} + C$
D. $F(x) = 2e^{4x} + \frac{2^x}{2\ln 2} + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: $\int -8e^{4x} dx = -8 \cdot \frac{1}{4} e^{4x} = -2e^{4x}$. $\int \frac{1}{2} \cdot 2^x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^x}{\ln 2}$. Kết quả: $F(x) = -2e^{4x} + \frac{2^x}{2\ln 2} + C$. “}