Bài toán gốc
Tìm $\int{\left(-2\sqrt[8]{x}+4x+2 \right)\text{d}x}$
A. $-\dfrac{9}{4}\sqrt[9]{x^8}+2.x^2+2x+C$
B. $-\dfrac{16}{9}\sqrt[8]{x^9}+2.x^2+2x+C$
C. $-\dfrac{2}{9}\sqrt[8]{x^9}+2.x^2+2x+C$
D. $-\dfrac{9}{4}\sqrt[8]{x^9}+2.x^2+2x+C$
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm nguyên hàm cơ bản của hàm số bao gồm các hạng tử là hàm đa thức và hàm lũy thừa (dạng căn thức). Phương pháp giải là sử dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm và áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: $\int x^n \text{d}x = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Cần chuyển đổi $\sqrt[m]{x^k}$ về dạng lũy thừa $x^{k/m}$ trước khi tính.
Bài toán tương tự
Chúng ta có 5 bài toán tương tự:
**1.** Tìm $\int{\left(6\sqrt[5]{x}-3x^2+1 \right)\text{d}x}$
A. $5\sqrt[6]{x^5}-x^3+x+C$
B. $\dfrac{5}{6}\sqrt[5]{x^6}-x^3+x+C$
C. $5\sqrt[5]{x^6}-x^3+x+C$
D. $6\sqrt[5]{x^6}-x^3+x+C$
Đáp án đúng: C
Lời giải ngắn gọn: Ta có $6\sqrt[5]{x} = 6x^{1/5}$. Nguyên hàm là $6\dfrac{x^{1/5+1}}{1/5+1} – 3\dfrac{x^3}{3} + x + C = 6\dfrac{x^{6/5}}{6/5} – x^3 + x + C = 5x^{6/5} – x^3 + x + C = 5\sqrt[5]{x^6}-x^3+x+C$.
**2.** Tìm $\int{\left(3\sqrt[3]{x^2}+5x-7 \right)\text{d}x}$
A. $\dfrac{9}{5}\sqrt[3]{x^5}+5x^2-7x+C$
B. $\dfrac{9}{5}\sqrt[3]{x^5}+\dfrac{5}{2}x^2-7x+C$
C. $\dfrac{5}{9}\sqrt[3]{x^5}+\dfrac{5}{2}x^2-7x+C$
D. $\dfrac{5}{9}\sqrt[5]{x^3}+\dfrac{5}{2}x^2-7x+C$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Ta có $3\sqrt[3]{x^2} = 3x^{2/3}$. Nguyên hàm là $3\dfrac{x^{2/3+1}}{2/3+1} + 5\dfrac{x^2}{2} – 7x + C = 3\dfrac{x^{5/3}}{5/3} + \dfrac{5}{2}x^2 – 7x + C = \dfrac{9}{5}x^{5/3} + \dfrac{5}{2}x^2 – 7x + C = \dfrac{9}{5}\sqrt[3]{x^5} + \dfrac{5}{2}x^2 – 7x + C$.
**3.** Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 8\sqrt{x} – 6x^3 + 10$.
A. $16\sqrt{x^3} – \dfrac{3}{2}x^4 + 10x + C$
B. $\dfrac{16}{3}\sqrt{x^3} – \dfrac{3}{2}x^4 + 10x + C$
C. $\dfrac{3}{16}\sqrt{x^3} – \dfrac{3}{2}x^4 + 10x + C$
D. $\dfrac{16}{3}\sqrt{x^3} – 2x^4 + 10x + C$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Ta có $8\sqrt{x} = 8x^{1/2}$. Nguyên hàm là $8\dfrac{x^{1/2+1}}{1/2+1} – 6\dfrac{x^4}{4} + 10x + C = 8\dfrac{x^{3/2}}{3/2} – \dfrac{3}{2}x^4 + 10x + C = \dfrac{16}{3}x^{3/2} – \dfrac{3}{2}x^4 + 10x + C = \dfrac{16}{3}\sqrt{x^3} – \dfrac{3}{2}x^4 + 10x + C$.
**4.** Tính $\int{\left(4\sqrt[4]{x^3} – x + 9 \right)\text{d}x}$
A. $\dfrac{16}{7}\sqrt[4]{x^7} – x^2 + 9x + C$
B. $\dfrac{16}{7}\sqrt[4]{x^7} – \dfrac{1}{2}x^2 + 9x + C$
C. $\dfrac{7}{16}\sqrt[4]{x^7} – \dfrac{1}{2}x^2 + 9x + C$
D. $\dfrac{16}{7}\sqrt[7]{x^4} – \dfrac{1}{2}x^2 + 9x + C$
Đáp án đúng: B
Lời giải ngắn gọn: Ta có $4\sqrt[4]{x^3} = 4x^{3/4}$. Nguyên hàm là $4\dfrac{x^{3/4+1}}{3/4+1} – \dfrac{x^2}{2} + 9x + C = 4\dfrac{x^{7/4}}{7/4} – \dfrac{1}{2}x^2 + 9x + C = \dfrac{16}{7}x^{7/4} – \dfrac{1}{2}x^2 + 9x + C = \dfrac{16}{7}\sqrt[4]{x^7} – \dfrac{1}{2}x^2 + 9x + C$.
**5.** Tính $\int{\left(-5\sqrt[7]{x} + 2x^4 – 3 \right)\text{d}x}$
A. $-\dfrac{35}{8}\sqrt[7]{x^8} + \dfrac{2}{5}x^5 – 3x + C$
B. $-\dfrac{8}{35}\sqrt[7]{x^8} + \dfrac{2}{5}x^5 – 3x + C$
C. $-\dfrac{35}{8}\sqrt[7]{x^8} + \dfrac{2}{5}x^5 + C$
D. $-\dfrac{35}{8}\sqrt[8]{x^7} + \dfrac{2}{5}x^5 – 3x + C$
Đáp án đúng: A
Lời giải ngắn gọn: Ta có $-5\sqrt[7]{x} = -5x^{1/7}$. Nguyên hàm là $-5\dfrac{x^{1/7+1}}{1/7+1} + 2\dfrac{x^5}{5} – 3x + C = -5\dfrac{x^{8/7}}{8/7} + \dfrac{2}{5}x^5 – 3x + C = -\dfrac{35}{8}x^{8/7} + \dfrac{2}{5}x^5 – 3x + C = -\dfrac{35}{8}\sqrt[7]{x^8} + \dfrac{2}{5}x^5 – 3x + C.