Bài toán gốc
Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\cos x-x$ là?
A. $\sin x-\dfrac{1}{2}x^2+C$.
B. $-\sin x-\dfrac{1}{2}x^2+C$.
C. $-\cos x-\dfrac{1}{2}x^2+C$.
D. $\cos x-\dfrac{1}{2}x^2+C$.
Lời giải: Ta có $\int{\sin x\text{d}x}=\sin x-\dfrac{1}{2}x^2+C$. với $C$ là hằng số.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán là tìm họ nguyên hàm (tích phân bất định) của hàm số sơ cấp. Hàm số là tổng hoặc hiệu của các hàm cơ bản (hàm lượng giác và hàm lũy thừa). Phương pháp giải là áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm: $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$, sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản: $\int \cos x dx = \sin x + C$, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
Bài toán tương tự
1. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\sin x + 3x^2$ là? A. $\cos x + x^3 + C$. B. $-\cos x + x^3 + C$. C. $\cos x + 6x + C$. D. $-\cos x + 6x + C$. Đáp án đúng: B. Giải thích: Ta có $\int (\sin x + 3x^2) dx = \int \sin x dx + 3 \int x^2 dx = -\cos x + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = -\cos x + x^3 + C$.
2. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=e^x – 4$ là? A. $e^x – 4x + C$. B. $e^x – 4 + C$. C. $e^x + C$. D. $x e^x – 4x + C$. Đáp án đúng: A. Giải thích: $\int (e^x – 4) dx = \int e^x dx – \int 4 dx = e^x – 4x + C$.
3. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{2}{x} + x^3$ là? A. $2\ln x + 3x^2 + C$. B. $2\ln|x| + \frac{x^4}{4} + C$. C. $2\ln|x| + 4x^4 + C$. D. $2\ln x + x^4 + C$. Đáp án đúng: B. Giải thích: $\int (\frac{2}{x} + x^3) dx = 2\int \frac{1}{x} dx + \int x^3 dx = 2\ln|x| + \frac{x^4}{4} + C$.
4. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{\cos^2 x} + 2x$ là? A. $\tan x + x^2 + C$. B. $-\cot x + x^2 + C$. C. $\tan x + 2x^2 + C$. D. $\cot x + x^2 + C$. Đáp án đúng: A. Giải thích: $\int (\frac{1}{\cos^2 x} + 2x) dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 2\int x dx = \tan x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = \tan x + x^2 + C$.
5. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{x}} – \sin x$ là? A. $2\sqrt{x} + \cos x + C$. B. $2\sqrt{x} – \cos x + C$. C. $\frac{2}{\sqrt{x}} + \cos x + C$. D. $2\sqrt{x} – \sin x + C$. Đáp án đúng: B. Giải thích: Ta có $f(x) = x^{-1/2} – \sin x$. $\int (x^{-1/2} – \sin x) dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} – (-\cos x) + C = 2\sqrt{x} + \cos x + C$.