Bài toán gốc
Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $y={{x}^{3}}$. Phát biểu nào sau đây đúng?
A. $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C$.
B. $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}$.
C. $f\left( x \right)=4{{x}^{3}}$.
D. $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{4}}}{3}+C$.
Lời giải: Ta có $\int{{{x}^{3}}}\text{d}x=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C$.
Phân tích và Phương pháp giải
Dạng bài toán: Tìm nguyên hàm (antiderivative) của một hàm số cho trước. Đây là kiến thức cơ bản về phép tính nguyên hàm. Phương pháp giải: Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, đặc biệt là công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (với $n \neq -1$).
Bài toán tương tự
5 bài toán tương tự (Nguyên hàm cơ bản):
**Câu 1:** Cho hàm số $f(x) = x^4$. Phát biểu nào sau đây là đúng về nguyên hàm của $f(x)$?
A. $F(x) = 5x^5 + C$
B. $F(x) = \frac{x^5}{5} + C$
C. $F(x) = 4x^3 + C$
D. $F(x) = \frac{x^4}{5} + C$
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $\int x^4 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = \frac{x^5}{5} + C$.
**Câu 2:** Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^{5x}$.
A. $F(x) = 5e^{5x} + C$
B. $F(x) = e^{5x} + C$
C. $F(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + C$
D. $F(x) = e^{x^5} + C$
Đáp án đúng: C. Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$. Ta có $\int e^{5x} dx = \frac{1}{5}e^{5x} + C$.
**Câu 3:** Nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos(4x)$ là:
A. $F(x) = -4\sin(4x) + C$
B. $F(x) = 4\sin(4x) + C$
C. $F(x) = -\frac{1}{4}\sin(4x) + C$
D. $F(x) = \frac{1}{4}\sin(4x) + C$
Đáp án đúng: D. Lời giải ngắn gọn: Áp dụng công thức $\int \cos(ax) dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C$. Ta có $\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4}\sin(4x) + C$.
**Câu 4:** Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x^3 – \frac{1}{x}$ (với $x > 0$).
A. $F(x) = 6x^2 + \frac{1}{x^2} + C$
B. $F(x) = \frac{x^4}{2} – \ln|x| + C$
C. $F(x) = 2x^4 – \ln|x| + C$
D. $F(x) = \frac{x^4}{2} + \ln|x| + C$
Đáp án đúng: B. Lời giải ngắn gọn: $\int (2x^3 – \frac{1}{x}) dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} – \ln|x| + C = \frac{x^4}{2} – \ln|x| + C$.
**Câu 5:** Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $F(x) = 2\sqrt{x} + C$
B. $F(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + C$
C. $F(x) = -\frac{1}{2\sqrt{x}} + C$
D. $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$
Đáp án đúng: A. Lời giải ngắn gọn: Ta có $f(x) = x^{-1/2}$. $\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$.