Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới cùa một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD$. mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc bằng $60{}^\circ$ (hình vẽ).
Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Trọng lượng của chiếc xe ô tô bằng bao nhiêu Niutơn? (làm tròn đến hàng đơn vị), biết rằng các lực căng $\overrightarrow{{{F}_{1}}},\overrightarrow{{{F}_{2}}},\overrightarrow{{{F}_{3}}},\overrightarrow{{{F}_{4}}}$ đều có cường độ là $3500N$ và trọng lượng của khung sắt là $2500N$.
Lời giải
Đáp án: 9624.
Gọi ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{E{{A}_{1}}}=\overrightarrow{{{F}_{1}}},\overrightarrow{E{{B}_{1}}}=\overrightarrow{{{F}_{2}}},\overrightarrow{E{{C}_{1}}}=\overrightarrow{{{F}_{3}}},\overrightarrow{E{{D}_{1}}}=\overrightarrow{{{F}_{4}}}$.
Vì $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( ABCD \right)$ một góc bằng ${{60}^{o}}$ nên $E{{A}_{1}},E{{B}_{1}},E{{C}_{1}},E{{D}_{1}}$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}} \right)$ một góc bằng ${{60}^{o}}$.
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$ cũng là hình chữa nhật.
Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật ${{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}$. Ta suy ra $EO\bot \left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}} \right)$.
Do đó góc giữa đường thẳng $E{{A}_{1}}$ và mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}} \right)$ bằng góc $\widehat{E{{A}_{1}}O}$ suy ra $\widehat{E{{A}_{1}}O}={{60}^{o}}$.
Ta có $\left| \overrightarrow{{{F}_{1}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{F}_{2}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{F}_{3}}} \right|=\left| \overrightarrow{{{F}_{4}}} \right|=4700N$ nên $E{{A}_{1}}=E{{B}_{1}}=E{{C}_{1}}=E{{D}_{1}}=3500N$.
Tam giác $EO{{A}_{1}}$ vuông tại $O$ nên $EO=E{{A}_{1}}.\sin \widehat{E{{A}_{1}}O}=3500.\sin 60{}^\circ =1750\sqrt{3}$.
Ta có: $\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}+\overrightarrow{{{F}_{3}}}+\overrightarrow{{{F}_{4}}}=\overrightarrow{E{{A}_{1}}}+\overrightarrow{E{{B}_{1}}}+\overrightarrow{E{{C}_{1}}}+\overrightarrow{E{{D}_{1}}}=4\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}+\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}+\overrightarrow{O{{D}_{1}}}=4\overrightarrow{EO}$.
Vì chiếc khung sắt chứa xe ô tô ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}+\overrightarrow{{{F}_{3}}}+\overrightarrow{{{F}_{4}}}=\overrightarrow{P}$, với $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên khung sắt chứa xe ô tô.
Suy ra trọng lượng của khung sắt chứa chiếc xe ô tô là: $\left| \overrightarrow{P} \right|=4\left| \overrightarrow{EO} \right|=4.1750\sqrt{3}=7000\sqrt{3}N$
Vì trọng lượng của khung sắt là $2500N$ nên trọng lượng của chiếc xe ô tô là: $7000\sqrt{3}-2500\approx 9624N$.