Bài toán gốc
Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{4x^2+3x-3}{-3x+4m-4}$ là đường thẳng có phương trình $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}$. Tính $m$.
A. $0$.
B. $\dfrac{1}{4}$.
C. $1$.
D. $-\dfrac{1}{4}$.
Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{-9-4(4m-4)}{9}$.
Suy ra $\dfrac{-9-4(4m-4)}{9}=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{4}$.
Phân tích và Phương pháp giải
Đây là dạng bài toán tìm tham số m dựa trên phương trình của tiệm cận xiên (TCX) của hàm số hữu tỉ bậc hai chia bậc nhất $y=\dfrac{A(x)}{B(x)}$. Phương pháp giải là sử dụng công thức tính hệ số của tiệm cận xiên $y=ax+b$ dựa trên các hệ số của đa thức tử và mẫu. Hệ số góc $a = \dfrac{a_1}{a_2}$ (được kiểm tra trước), và hệ số tự do $b = \lim_{x\to \infty} [f(x) – ax]$. Đối với dạng $y=\dfrac{a_1 x^2 + b_1 x + c_1}{a_2 x + b_2}$, hệ số tự do $b$ được tính nhanh là $b = \dfrac{a_2 b_1 – a_1 b_2}{a_2^2}$. Sau đó đồng nhất hệ số $b$ vừa tìm được (chứa $m$) với hệ số tự do $b$ của đường TCX cho trước để giải ra $m$.
Bài toán tương tự
Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2+x-2}{x+3m}$ là đường thẳng có phương trình $y=3x-8$. Tính $m$.
A. $1$
B. $-1$
C. $2$
D. $0$
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: Hàm số có dạng $y=\dfrac{a_1 x^2 + b_1 x + c_1}{a_2 x + b_2}$, với $a_1=3, b_1=1, a_2=1, b_2=3m$.
Hệ số góc của TCX là $a = \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{1}=3$ (Phù hợp với TCX cho trước).
Hệ số tự do của TCX là $b = \dfrac{a_2 b_1 – a_1 b_2}{a_2^2} = \dfrac{1(1) – 3(3m)}{1^2} = 1 – 9m$.
Đồng nhất $b$ với hệ số tự do của đường thẳng cho trước: $1 – 9m = -8$.
Giải phương trình: $9m = 9 \Rightarrow m=1$.