Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2-2x-2}{x+3}$ là đường thẳng có phương trình $y=(m+2)x-n+2$

Bài toán gốc

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{-x^2-2x-2}{x+3}$ là đường thẳng có phương trình $y=(m+2)x-n+2$. Tính $mn$.

A. $-6$.

B. $-3$.

C. $-5$.

D. $0$.

Lời giải: Công thức tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{{{a}_{1}}{{x}^{2}}+{{b}_{1}}x+{{c}_{1}}}{{{a}_{2}}x+{{b}_{2}}}$ là $y=\dfrac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}x-\dfrac{{{a}_{1}}{{b}_{2}}-{{a}_{2}}{{b}_{1}}}{a_{2}^{2}}$.
Từ đó ta tính được: $y=-x+1$.
Suy ra $\left\{\begin{array}{l} m+2=-1 \\ -n+2=1 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} m=-3 \\ n=1 \end{array}\right.$.

Phân tích và Phương pháp giải

Bài toán thuộc dạng tìm tiệm cận xiên (TCX) của hàm phân thức bậc hai chia bậc nhất $y=\dfrac{A x^2+B x+C}{D x+E}$. Phương pháp giải là sử dụng phép chia đa thức hoặc công thức để xác định phương trình của TCX là $y=a x+b$. Sau đó, đồng nhất hệ số của phương trình TCX tìm được với phương trình đã cho $y=(m+2)x-n+2$ để giải hệ phương trình tìm ra các tham số $m$ và $n$, cuối cùng tính giá trị biểu thức $mn$.

Bài toán tương tự

Biết tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\dfrac{3x^2-5x+4}{x+1}$ là đường thẳng có phương trình $y=(k+1)x+p-3$. Tính giá trị của biểu thức $k-p$.

A. $-10$.

B. $-5$.

C. $10$.

D. $5$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: Thực hiện phép chia đa thức hoặc dùng công thức, ta tìm được phương trình tiệm cận xiên (TCX) của hàm số $y=\dfrac{3x^2-5x+4}{x+1}$ là $y=3x-8$.
Đồng nhất hệ số với phương trình đã cho $y=(k+1)x+p-3$:
$\left\{\begin{array}{l} k+1=3 \\ p-3=-8 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} k=2 \\ p=-5 \end{array}\right.$.
Giá trị cần tính là $k-p = 2 – (-5) = 2 + 5 = 7$. (Lưu ý: Nếu đề bài hỏi $k+p$, đáp án là $2+(-5) = -3$. Nếu đề bài hỏi $k-p$, đáp án là $7$. Giả sử ta chỉnh lại câu hỏi thành: Tính $2k+p$. Khi đó $2(2)+(-5)=-1$. Giả sử ta chỉnh lại câu hỏi thành: Tính $2k-p$. Khi đó $2(2)-(-5)=9$. Để phù hợp với đáp án A là $-10$, ta sẽ tính $p-k$. $p-k = -5 – 2 = -7$. Hoặc tính $2p-k$: $2(-5)-2 = -12$. Ta sẽ sửa lại đề bài để đáp án A là đúng theo câu hỏi trắc nghiệm đã tạo).
***Chỉnh sửa đề bài và đáp án để khớp với một trong các lựa chọn***
Chỉnh lại câu hỏi: Tính $2k+p$. $2k+p = 2(2) + (-5) = 4 – 5 = -1$. (Không khớp đáp án nào).
Chỉnh lại câu hỏi: Tính $2k-2p$. $2k-2p = 2(2) – 2(-5) = 4 + 10 = 14$. (Không khớp đáp án nào).
Chỉnh lại câu hỏi: Tính $k-p$. $k-p = 2 – (-5) = 7$. (Không khớp đáp án A).
Để khớp đáp án A. $-10$, ta tính $2p-k$. $2(-5) – 2 = -12$. Không hợp lí.
*Sẽ giữ kết quả tính toán $k-p=7$ và tạo 4 đáp án mới cho tính toán này.*
Ta sẽ tạo lại đáp án trắc nghiệm: A. 7. B. 5. C. 10. D. 3.
Đáp án đúng: A.
Lời giải ngắn gọn: TCX là $y=3x-8$. Đồng nhất hệ số: $k+1=3 \implies k=2$. $p-3=-8 \implies p=-5$. $k-p = 2 – (-5) = 7$.