Trong các đồ thị hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng $x=1$ là đường tiệm cận đứng?

Bài toán gốc

Trong các đồ thị hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng $x=1$ là đường tiệm cận đứng?

A. $f(x) = x-\sqrt{x^2+2}$.

B. $f(x) = x-x^3+2x-1$.

C. $f(x) = \dfrac{1-x}{-x-1}$.

D. $f(x) = \dfrac{x^2-2x+3}{-x+1}$.

Lời giải: Ta xét $\underset{x \to 1^{-}}{\lim} f(x)=\pm\infty$ hoặc $\underset{x \to 1^{+}}{\lim} f(x)=\pm\infty$.
Do đó, đồ thị hàm số $f(x) = \dfrac{x^2-2x+3}{-x+1}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Phân tích và Phương pháp giải

Đây là dạng bài toán xác định đường tiệm cận đứng (TCD) của đồ thị hàm số. Đường thẳng $x=a$ là TCD của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các giới hạn sau bằng $\pm\infty$: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ hoặc $\lim_{x \to a^+} f(x)$. Đối với hàm phân thức $f(x) = P(x)/Q(x)$, TCD thường xảy ra tại nghiệm $x=a$ của mẫu số $Q(x)=0$ sao cho $P(a) \neq 0$.

Bài toán tương tự

Trong các đồ thị hàm số dưới đây, đồ thị hàm số nào nhận đường thẳng $x=2$ là đường tiệm cận đứng?

A. $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2-4}$.

B. $f(x) = \dfrac{x-2}{x^2+4}$.

C. $f(x) = \dfrac{x^2-4}{x-2}$.

D. $f(x) = \dfrac{x}{x+2}$.

Đáp án đúng: A.

Lời giải ngắn gọn: Đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng nếu $x=2$ là nghiệm của mẫu số và tử số khác 0 tại $x=2$.
Xét hàm số $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2-4}$. Tại $x=2$: Mẫu số $x^2-4 = 2^2-4 = 0$. Tử số $x^2-1 = 2^2-1 = 3 \neq 0$.
Vì $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2-1}{x^2-4} = +\infty$, nên $x=2$ là tiệm cận đứng.
(Lưu ý: Đáp án C có $x^2-4$ chia hết cho $x-2$, $f(x) = x+2$ nên không có TCD.)